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数学の一分野函数解析学においてコンパクト作用素（コンパクトさようそ、）とは、バナッハ空間 ''X'' から別のバナッハ空間 ''Y'' への線型作用素 ''L'' であって、''X'' の任意の有界集合を ''Y'' の相対コンパクト集合へ写すようなもののことを言う。このような作用素は有界作用素、つまり連続写像でなければならない。 有界作用素 ''L'' で階数が有限なものは全てコンパクト作用素である。実際、無限次元空間上のコンパクト作用素のクラスは階数有限な作用素のクラスの自然な一般化である。''X'' = ''Y'' がヒルベルト空間であるとき、任意のコンパクト作用素は有限階作用素の極限として得られる。したがってコンパクト作用素のクラスを有限階作用素のクラスの作用素ノルムに関する閉包として定義することもできる。このこと（近似特性 AP）が一般のバナッハ空間においても正しいかどうかということは長年未解決の問題であったが、エンフロによって反例が与えられ否定的に解決された。 コンパクト作用素の理論の始まりは、積分方程式の理論の中にあり、そこでは積分作用素がそのような作用素の具体的な例を与える。典型的なフレドホルム方程式は函数空間上のコンパクト作用素 ''K'' を生じ、このときのコンパクト性は同程度連続性によって示される。有限階作用素による近似法はそのような方程式の数値解法の基礎である。抽象的なフレドホルム作用素の概念はこの関連性からくるものである。 == 同値な定式化 == 有界作用素 ''T'' がコンパクトであるための必要十分条件は、以下の条件のいずれか（したがってすべて）を満足することである。 * ''X'' における単位球体の ''T'' による像が ''Y'' において相対コンパクトである。 * ''X'' における任意の有界集合の ''T'' による像が ''Y'' において相対コンパクトである。 * ''X'' における任意の有界集合の ''T'' による像が ''Y'' において全有界である。 * 0 の近傍 ''U'' ⊂ ''X'' とコンパクト集合 ''V'' ⊂ ''Y'' で ''T''(''U'') ⊂ ''V'' を満たすものが存在する。 * ''X'' における単位球体内の任意の列 (''x''''n'')''n''∈N に対し、列 (''Tx''''n'')''n''∈N はコーシー列を成す部分列を含む。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「コンパクト作用素」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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