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素数が無数に存在することの証明は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（）と呼ばれる。 == ユークリッド == 『原論』第9巻命題20で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである〔D. E. Joyce による英語訳 。日本語訳には中村幸四郎らによる訳がある。〕 :''a'', ''b'', …, ''k'' を任意に与えられた素数のリストとする。その積 ''P'' := ''a'' × ''b'' × … × ''k'' に 1 を加えた数 ''P'' + 1 は、素数であるか、素数でないかのいずれかである。素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。素数でなければ、何らかの素数 ''p'' で割り切れるが、''p'' はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は ''P'' を割り切るので、''P'' + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。 この証明は、しばしば次のような形で表現される。 :素数の個数が有限と仮定し、''p''1, … ''p''''n'' が素数の全てとする。その積 ''P'' = ''p''1 × … × ''p''''n'' に 1 を加えた数 ''P'' + 1 は、''p''1, …, ''p''''n'' のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは ''p''1, …, ''p''''n'' が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無数に存在する。 この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない〔Hardy and Woodgold, p. 44〕。特に、最後の主張は 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例により、歴史的にのみならず数学的に誤りである。 1878年、クンマーは、''P'' + 1 の代わりに ''P'' - 1 を考えても、同様に証明できることを注意した〔Ribenboim, 第1章〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「素数が無数に存在することの証明」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Euclid's theorem 」があります。 スポンサード リンク
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