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数学、特に可換環論において、分数イデアル（）の概念は整域の文脈で導入され、特にデデキント整域の研究において成果が多い。ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくるような文脈では、明確にするために後者を整イデアル（integral ideal）と呼ぶこともある。 == 定義と基本的な結果 == ''R'' を整域とし ''K'' をその分数体とする。''R'' の 分数イデアルは ''K'' の ''R''-部分加群 ''I'' であって、0でない ''r'' ∈ ''R'' が存在して ''rI'' ⊆ ''R'' となるようなものである。元 ''r'' は ''I'' の分母をはらっていると考えることができる。単項分数イデアル（principal fractional ideal）は ''K'' のただ1つの 0 でない元によって生成される ''K'' のそのような ''R''-部分加群である。分数イデアル ''I'' が ''R'' に含まれるのはそれが ''R'' の（'整'）イデアルであるとき、かつそのときに限る。 分数イデアル ''I'' は次のようなとき可逆（invertible）と呼ばれる。別の分数イデアル ''J'' が存在して ''IJ'' = ''R'' （ただし ''IJ'' = で、これは2つの分数イデアルの積（product）と呼ばれる）。このとき、分数イデアル ''J'' は一意的に定まり、一般化であるイデアル商 に等しい： : 可逆分数イデアルの集合は単位イデアル ''R'' 自身を単位元として上記の積に関してアーベル群をなす。この群は ''R'' の分数イデアルの群と呼ばれる。単項分数イデアルは部分群をなす。0でない分数イデアルが可逆であるのはそれが ''R''-加群として射影的であるとき、かつそのときに限る。 ''K'' のすべての有限生成 ''R''-部分加群は分数イデアルであり、''R'' がネーター環ならばこれらが ''R'' の分数イデアルのすべてである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「分数イデアル」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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