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数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。 == 概要 == ''X'' を成分が実数である2次の正方行列 : とするとき、これは : という平面上の線型変換を定めている。一方で平面における二つのベクトル ''u'' = (''u''0, ''u''1), ''v'' = (''v''0, ''v''1) について、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は : ''A''(''u'', ''v'') = ''u''0''v''1 − ''u''1''v''0 によって指定される数だと考えることができる。このとき ''A''(''X''.''u'', ''X''.''v'') = (''ad'' − ''bc'')''A''(''u'', ''v'') が成り立っているが、これは ''X'' の定める線型変換によって平面内の図形の面積が (''ad'' − ''bc'') 倍される、と解釈できる。 したがって各2次正方行列 ''X'' に対し（上の記号の下で）det ''X'' = ''ad'' − ''bc'' を対応させると、det(''XY'') = (det ''X'')(det ''Y'') であることや、det ''X'' > 0 であるとき ''X'' の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det ''X'' < 0 であるとき図形の向きは反転させられることがわかる。det の乗法性から ''X'' が可逆ならば det ''X'' は逆数を持つ数であることが従うが、反対に ''X'' が退化した行列であるとき、つまり ''X'' の定める変換の像が1次元の部分空間になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det ''X'' = 0 となることがいえる。こうして行列 ''X'' が正則になることと ''X'' の行列式が可逆になることが同値であるということがわかる。 同様にして一般の次数の正方行列 ''X'' に対し、''X'' の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を ''X'' の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、2次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一意に決まるような線型方程式系の公式が行列式を用いて表示される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「行列式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Determinant 」があります。 スポンサード リンク
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