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数学における多様体の概複素構造（がいふくそこうぞう、almost complex structure）は、多様体の各点での接ベクトル空間が（滑らかな）複素構造を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体はシンプレクティック幾何学に重要な応用を持つ。 この概念は、1940年代の(Charles Ehresmann)と(Heinz Hopf)による。 == 定義 == 滑らかな多様体 M に対し、接バンドル TM 上の自己同型写像 J: TM → TM で を満たすものを、多様体 M の概複素構造(almost complex structure)という。ここで、idTM は TM 上の恒等写像を表す。概複素構造を持つ多様体を概複素多様体と言う。言い換えると、が (1, 1) であり、接空間の上でベクトルバンドル同型 J : TM → TM と見なすことができ、J2 = −1 を満たす滑らかなテンソル場 J のことである。 M が概複素構造を持つと、必然的に M の次元は偶数である。このことは次のように理解できる。M を n-次元とし、J : TM → TM を概複素構造とする。J2 = −1 であれば、det(J)2 = (−1)n である。しかし、M が実多様体であれば、det(J) は実数であるので、M が概複素構造を持っていても n は偶数であるはずである。これは向き付け可能であることと同じである。 簡単な線型代数の演習として、任意の偶数次元のベクトル空間には線型複素構造が入ることを示すことができる。従って、偶数次元の多様体はいつも (1, 1) ランクのテンソルを各点ごとに持っていて、各々の点で Jp2 = −1 を満たす。この局所テンソルを互いに貼り合わせて大域的に定義することができるときだけ、各点ごとに定義された線型複素構造は概複素構造を与える。これらの貼り合わせ可能性は、それはM 上に概複素構造が存在する可能性でもあるが、接バンドルに GL(2n, R) から GL(n, C) へが起きる場合と同値である。従って、（概複素構造の）存在問題は、純粋に代数トポロジーの問題として良く理解されている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「概複素構造」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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