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数学、とくに抽象代数学における正規部分群（せいきぶぶんぐん、）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられた群から剰余群を構成するのに用いることができる。 正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。 == 定義 == 群 の部分群 が正規部分群であるとは、共役変換によって不変、すなわち の任意の元 と の任意の元 に対して、元 が再び に属するときにいう。これを : で表す。任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。 * の任意の元 に対して が成り立つ。 * の任意の元 に対して が成り立つ。 * における を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。 * の任意の元 に対して が成立する。 * は の共役類の和集合である。 * 上定義された群準同型で をその核に持つものが存在する。 最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。たとえば、単位群でない有限群が単純となるための必要十分条件はその群がその上の恒等的でない準同型像の全体に同型となることであり、有限群が完全群となるための必要十分条件はそれが素数指数の正規部分群を持たないことであり、また群が不完全群となるための必要十分条件は、その導来部分群がいかなる真の正規部分群をも補群として持たないことである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「正規部分群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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