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1形式 : ウィキペディア日本語版
1-形式[いちじけいしき]

線型代数学におけるベクトル空間上の(代数)一次形式(いちじけいしき、)あるいは簡単に -形式(いちけいしき、)とは、その空間上の線型汎関数(すなわち -テンソル共変ベクトル)のことである。普通、この文脈で一次形式という呼称は、その空間上の高次の形式(あるいはそれに対応する多重線型形式)の中で特に一次であることをはっきりさせるために用いられる。詳細は「線型汎関数」の項へ譲る。
微分幾何学において、可微分多様体上の一次微分形式(いちじびぶんけいしき、)、微分 -形式あるいは単に -形式 (one-form) とは、余接束滑らかな断面である。あるいは同値だが、多様体 ''M'' 上の 1-形式は ''M'' の接束全空間から R への滑らかな写像であって、各ファイバーへの制限が接空間上の線型汎関数であるようなものである。記号で書けば、
:\alpha \colon TM \to \mathbb,\quad \alpha_x = \alpha|_\colon T_xM\to \mathbb
ただし ''αx'' は線型である。
しばしば 1-形式は特ににおいて記述される。局所座標系において、1-形式は座標の微分の線型結合である:
:\alpha_x = f_1(x) \, dx_1 + f_2(x) \, dx_2+ \cdots +f_n(x) \, dx_n
ただし ''f''''i'' は滑らかな関数である。この観点から、1-形式は 1 つの座標系から別の座標系へとうつるときに共変変換法則をもつ。
==例==

=== 線型形式 ===
実世界の多くの概念は 1-形式として記述できる:
* ベクトルの成分を取り出す操作: 3次元ベクトルの2番目の元は -形式 (との内積) によって与えられる。つまり、任意のベクトル の2番目の成分は以下に等しい:
*: \begin 0 & 1 & 0\end\begin x\\ y\\ z\end = y.
* 相加平均: -次元ベクトルの成分の平均値は -形式 によって与えられる。つまり、
*: \operatorname(v) = 1/n,\dots,1/n \cdot v.
* サンプリング (Sampling): kernel をもったサンプリングは 1-形式と考えることができる。1-形式は適切な location に shift された kernel である。
* ネットキャッシュフロー (net cash flow) ''R''(''t'') の net present value は 1-形式 ''w''(''t'') := (1 + ''i'')−''t'' によって与えられる、ただし ''i'' は discount rate である。つまり、
:: \mathrm(R(t)) = \langle w, R\rangle = \int_^\infty \frac\,dt.

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「1-形式」の詳細全文を読む



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