Club集合について

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Club集合：ウィキペディア日本語版

Club集合

club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。
という名前は、 (閉) と (非有界) の合成語である。
== 正式な定義 ==

正式には、

\kappa

を極限順序数として、

C\subset\kappa

が

\kappa

の中で閉であるということは、任意の

\alpha<\kappa

に対して、「

\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0

ならば

\alpha\in C

」となることである。従って、

C

の中の点列の極限が

\kappa

未満であればそれは

C

に属する。

\kappa

を極限順序数として、

C\subset\kappa

が

\kappa

の中で非有界であるということは、任意の

\alpha<\kappa

に対して、

\alpha<\beta

なる

\beta\in C

が存在するということである。
閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。
例として、可算極限順序数全てによる集合は

\omega_1

の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数

\kappa

に対して、

\kappa

未満の極限順序数全てによる集合は

\kappa

内でclubである。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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