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数学において、GCD整域 (GCD domain) は整域 ''R'' であって任意の2つの0でない元が最大公約元 (greatest common divisor; GCD) をもつという性質をもつものである。同値なことだが、''R'' の任意の2つの0でない元は最小公倍元 (least common multiple; LCM) をもつ。 GCD整域は一意分解整域 (UFD) を次のような意味で非ネーターの場合に一般化する。整域が UFD であることと、主イデアルについての昇鎖条件を満たすGCD整域であることは同値である。（とくに、ネーター的GCD整域はUFDである。） == 性質 == GCD整域のすべての既約元は素元である（しかしながらGCD整域が体でない場合でさえ既約元が存在するとは限らない）。GCD整域は整閉で、すべての0でない元はである〔proof 〕。言い換えると、すべてのGCD整域はシュライアー整域である。 GCD整域 ''R'' の元 ''x'', ''y'' の各組に対して、''x'' と ''y'' の GCD ''d'' と、''x'' と ''y'' の LCM ''m'' は、 であるように選ぶことができる。あるいは別の言い方をすれば、''x'' と ''y'' が0でない元で ''d'' が ''x'' と ''y'' の任意の GCD であれば、''xy''/''d'' は ''x'' と ''y'' の LCM であり、GCD と LCM を入れ替えて同様のことが成り立つ。。GCD と LCM の演算は商 ''R''/～ をにする、ただし "～" は同伴元であることによる同値関係を表す。 ''R'' がGCD整域であれば、多項式環 もまたGCD整域であり、より一般に、群環 は任意の捩れのない可換群 ''G'' に対してGCD整域である〔Robert W. Gilmer, ''Commutative semigroup rings'', University of Chicago Press, 1984, p. 172.〕。 GCD整域上の一変数多項式に対して、その内容 (content) をすべてのその係数の GCD として定義できる。すると多項式の積の内容は内容の積である。これはであり、これはGCD整域に対しても有効である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「GCD整域」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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