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ガウス求積（ガウスきゅうせき、）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に 1 に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 nを正の整数とし、 を 2n-1 次以下の任意の多項式関数とする。積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる 1 内のn個の点 を適切に決めると、重み と呼ばれるn個の実数 が によらず一意的に定まり、の 1 に渡る定積分値 は厳密に、 で与えられる。 この場合のn個の積分点の選び方は一通りではないが、特にn次のルジャンドル多項式のn個の零点を積分点として選ぶ方法をn次のガウス・ルジャンドル(Gauss-Legendre)公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している〔森・名取・鳥居 『数値計算』、岩波書店〈情報科学 18〉、1982年、pp130-132。〕。 が多項式関数でない場合においても、2n-1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上の公式を に対して適用することにより、その 1 における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外の例えば、特異点のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、対象の関数を と表すことができ、g(x) が近似多項式で W(x) が既知であれば、それを代替する重み を使って次のように表せる。 典型的な重み関数としては、（ガウス-チェビシェフ）や （ガウス-エルミート）がある。この場合の n 個の積分点 はルジャンドル多項式と同様に、ある直交多項式のクラスに属する n 次多項式の根である。 == ガウス・ルジャンドル公式による求積 == 上述のように ''n'' 次のこの方法には、 ''n'' 次のルジャンドル多項式 ''P''''n''(''x'') が対応している。このときの ''n''次多項式は ''P''''n''(1) = 1 となるよう正規化され、''i'' 番目のガウスノード ''x''''i'' は ''i'' 番目の ''P''''n'' の根である。重みは次の式で与えられる。 低次の求積法は次のようになる。 == 区間変更 == 区間 ''b'' についての積分は、ガウス求積法を適用する前に 1 に変更する必要がある。この区間変更は以下のように行う。 ガウス求積法を適用後、以下の近似が得られる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ガウス求積」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Gaussian quadrature 」があります。 スポンサード リンク
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