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アダマール変換 : ウィキペディア日本語版
アダマール変換[ うぉるしゅ-あだまーる]

アダマール変換ウォルシュ-アダマール変換アダマール-ラーデマッヘル-ウォルシュ変換ウォルシュ変換ウォルシュ-フーリエ変換としても知られている)はフーリエ変換の一般化の1つである。直交行列対称行列対合線形写像2^m実数(もしくは複素数、しかしアダマール行列は実数である)上で作用する。
アダマール変換はサイズ2の離散フーリエ変換(DFT)から構築されているとみなすことができ、実際、サイズが2\times2\times\cdots\times2\times2の多次元離散フーリエ変換と等価である。これは任意の入力ベクトルをの重ね合わせに分解する。
この変換はフランス数学者ジャック・アダマールドイツの数学者ハンス・ラーデマッヘルアメリカの数学者にちなんで命名されている。
== 定義 ==
アダマール変換''H''''m''は2''m'' × 2''m''の行列であり、(正規化係数によって縮小された)アダマール行列であり、2''m''の実数''x''''n''を2''m''の実数''X''''k''に変換する。アダマール変換は、再帰的に、もしくは指数n及びkの二進表現を用いることによって定義される。
再帰的にはまず1 × 1のアダマール変換''H''0単位行列''H''0 = 1によって定義する。その後''m'' > 0となる''H''''m''
:H_m = \frac \begin H_ & H_ \\ H_ & -H_ \end = H_ \otimes H_
で定義する。ここで正規化係数1/√2はしばしば省略される。従って、この正規化係数以外のアダマール行列は全て1と−1で構成される。
同様に、(''k'', ''n'')番目のアダマール行列を
: k = \sum^_ = k_ 2^ + k_ 2^ + \cdots + k_1 2 + k_0
: n = \sum^_ = n_ 2^ + n_ 2^ + \cdots + n_1 2 + n_0
によって定義できる。ここで''k''''j''と''n''''j''は2進数(0もしくは1)である。ここで左上の要素に注意してk = n = 0と定義する。この場合、
:\left( H_m \right)_ = \frac (-1)^
となる。入力と出力を''n''''j''と''k''''j''で添字付けられた多次元配列とみなした際、これはユニタリ作用素となるように正規化された\scriptstyle 2 \,\times\, 2 \,\times\, \cdots \,\times\, 2 \,\times\, 2次元DFTとなる。
アダマール行列のいくつかの例を以下に示す。
:\begin
H_0 = &+1\\
H_1 = \frac
&\begin\begin
1 & 1\\
1 & -1
\end\end
\end
(''H''1はサイズ2のDFTである。またZ/(2)の2要素の加法群上のフーリエ変換とみなすことが出来る)
:\begin
H_2 = \frac
&\begin\begin
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1
\end\end\\
H_3 = \frac
&\begin\begin
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1
\end\end\\
(H_n)_ = \frac &(-1)^
\end
ここで i \cdot j は数iとjの二進表現のビットごとの内積となる。例えば、\scriptstyle n \geq 2 ならば、\scriptstyle ()_ \;=\; (-1)^ \;=\; (-1)^ \;=\; (-1)^ \;=\; (-1)^1 \;=\; -1であり、(全体の定数を無視すれば)上記のアダマール行列に一致する。行列の最初の行と最初の列が\scriptstyle ()_ で示されていることに注意する必要がある。
アダマール行列の行はウォルシュ関数である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「アダマール変換」の詳細全文を読む



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