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アルティン予想 : ウィキペディア日本語版
アルティンのL-函数[あるてぃんのえるかんすう]

数学では、アルティンの ''L''-函数 (Artin ''L''-function) は、ガロア群 ''G'' の線型表現 ρ に付随するディリクレ級数のひとつである。これらの函数は、1923年にエミール・アルティンにより導入され、彼の類体論の研究に繋がっている。特に、以下に述べるアルティン予想という基本的な性質は、容易に証明することが困難であることが判明している。提唱されている非可換類体論の目的のひとつに、アルティンの ''L''-函数の複素解析的性質を、保型形式ラングランズ哲学で提供されているような、もう少し大きなフレームワークに入れて協調可能かということがある。今まで、そのような理論で確実に根付いた部分は少ない。

==定義==
G を数体の有限次拡大 L/K のガロア群とし、 \rho を有限次元ベクトル空間 V 上への G の表現とすると、アルティンの ''L''-函数は、オイラー積により以下のように定義される。
L整数環の各々の素イデアル \mathfrak P に対し、オイラー要素が存在する。このことは、 L \mathfrak P 不分岐であるときには容易に定義される(ほとんどすべて \mathfrak P に対し不分岐である)。この場合には、フロベニウス元 \mathbf (\mathfrak P) が、 G での共役類として定義される。従って、 \rho( \mathbf (\mathfrak)) 固有多項式well-definedである。 \mathfrak のオイラー要素は固有多項式を少し変形するが、これもwell-definedである。変形された固有多項式は、
: \operatorname(\rho(\mathbf(\mathfrak)))^
= \operatorname \left I - t \rho( \mathbf( \mathfrak)) \right ^
となり、 t = N (\mathfrak)^ と置き直すと、s を複素変数とした通常のリーマンゼータ函数の記法として t の有理函数となる。(ここに N はイデアルの体のノルムである。)
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