|
アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 ''n'' に対して、一般の ''n'' 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 == 概要 == 方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算と冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。 :方程式の係数を含む体に適当な冪根を添加して体を拡大していき、その中に根を含むようにできる。 アーベル-ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。 代数学の基本定理が示す通り、''n'' 次方程式は複素数の範囲で本質的に ''n'' 個の根を持つが、それを根号によって表示できるとは限らないことになる。冪根のみによらない手法についてはこの定理は触れていない（例えば超越関数によって容易に表示できたとしても代数的に解けたとはいわない）。また五次以上でも特定の条件付き方程式ならば解く事ができ、このようなものの一部はアーベル方程式と呼ばれる。もっとも単純なアーベル方程式は1の冪根を根にもつ ''x''''n'' = 1 であり、これが可解であることはガウスにより証明された。 一時この定理は完全な形で提出したアーベルにその功績が帰されていたが、現在ではルフィニの貢献を入れてアーベル–ルフィニの定理とする表記が多い。これはアーベルの業績になる定理が多く、単に「アーベルの定理」というと区別しにくいという事情も関係している。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アーベル–ルフィニの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|