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数学において、加群のテンソル積 (tensor product of modules) は双線型写像（例えば積）についての議論を線型写像（加群準同型）の言葉でできるようにする構成である。その加群の構成はベクトル空間のテンソル積の構成と類似であるが、可換環上の加群のペアに対して実行して第三の加群を得ることができ、また任意の環上の左加群と右加群のペアに対しても実行できてアーベル群が得られる。テンソル積は抽象代数学、ホモロジー代数学、代数トポロジー、代数幾何学の分野において重要である。ベクトル空間のテンソル積の普遍性は抽象代数学のより一般的な状況に拡張する。それによって線型演算を通じて双線型あるいは多重線型演算の研究ができる。代数と加群のテンソル積はのために使うことができる。可換環に対して、加群のテンソル積を繰り返して加群のテンソル代数を作ることができ、加群の積を普遍的な方法で定義することができる。 ==多重線型写像== 環 ''R''、右 ''R''-加群 ''MR''、左 ''R''-加群 ''RN''、アーベル群 ''Z'' に対して、 から ''Z'' への双線型写像 (bilinear map) あるいは平衡積 (balanced product) は関数 であってすべての ''m'', ''m''′ ∈ ''M''、''n'', ''n''′ ∈ ''N''、''r'' ∈ ''R'' に対して： # ''φ''(''m'' + ''m''′, ''n'') = ''φ''(''m'', ''n'') + ''φ''(''m''′, ''n'') # ''φ''(''m'', ''n'' + ''n''′) = ''φ''(''m'', ''n'') + ''φ''(''m'', ''n''′) # ''φ''(''m'' · ''r'', ''n'') = ''φ''(''m'', ''r'' · ''n'') から ''Z'' へのすべてのそのような双線型写像の集合は で表記される。 性質 3 はベクトル空間に対する定義とわずかに異なる。これは必要である、なぜならば ''Z'' はアーベル群であるとしか仮定されてなく、なので は意味をなさない。 ''φ'', ''ψ'' が双線型写像であれば、演算が pointwise に定義されるとき は双線型写像であり −''φ'' は双線型写像である。これは集合 をアーベル群にする。単位元は零写像である。 固定された ''M'' と ''N'' に対し、写像 はからへの関手である。射の部分は群準同型 を関数 に写すことで、これは から へ行く、与えられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「加群のテンソル積」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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