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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク アーベル群の基本定理 ： ウィキペディア日本語版 アーベル群[あーべるぐん] 数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、〔人名に由来する名称なので、通常は Abelian group と A を大文字にすべきところであるが、しばしばアーベル群は数学のあらゆるところに遍在するという意味を込めて "abelian" と記される。Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel 〕）または可換群（かかんぐん、）とは、定義される乗法が可換な群のことである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。しばしば、演算は "+" を用いて加法的に記されて加法群（かほうぐん、）ともよばれる〔単純に言えば、アーベル群とは足し算と引き算が自由にできる代数的な対象である。〕。また、加群（かぐん、）とも呼ばれることがあるがこの場合、別の代数系からの作用とともに考えていることが多い（環上の加群、群上の加群など）。Z 上の加群のことを単に加群と言うことも多い。Z 上の加群とアーベル群は自然に同一視される。 == 定義 == 集合 ''G'' に二項演算（" *" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件 # 結合法則: $a$ * (b * c) = (a * b) * c. # 単位元の存在:$\backslash exists1;\backslash \; a$ * 1 = 1 * a = a. # 逆元の存在: $\backslash forall\; a,\; \backslash exists\; a^;\backslash \; a$ * a^ = a^ * a = 1. # 交換法則: $a$ * b = b * a. （ただし、''a'', ''b'', ''c'' は ''G'' の任意の元）を全て満たすとき、''G'' と演算 " *" の組 (''G'', *) をアーベル群という。考えている演算があきらかなときは省略して単に ''G'' をアーベル群と呼ぶ。 アーベル群ではしばしば演算子を "+" と記す。このとき単位元を零元と呼んで 0 などで表し、逆元も −''a'' のように負符号を用いて表してマイナス元あるいは反数ともよぶ。また、''a'' + (−''b'') は ''a'' − ''b'' と書かれ、''a'' から ''b'' を引くという減法が定義される。このような記法を加法的な記法と呼び、対して先に述べたような通常の群でよく使われる記法を乗法的な記法ということがある。アーベル群の定義を加法的に記せば # 結合法則: $a\; +\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; +\; b)\; +\; c$. # 零元の存在: $\backslash exists\; 0;\backslash \; a\; +\; 0\; =\; 0\; +\; a\; =\; a$. # マイナス元の存在: $\backslash forall\; a,\; \backslash exists\; -a;\backslash \; a\; +\; (-a)\; =\; (-a)\; +\; a\; =\; 0$. # 交換法則: $a\; +\; b\; =\; b\; +\; a$. のようになる。以降ではアーベル群を主に加法的に記す。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アーベル群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Abelian group 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.