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エルミート多項式 : ウィキペディア日本語版
エルミート多項式[-たこうしき]

エルミート多項式(-たこうしき)とは、常微分方程式
:\left( \frac-2x\frac+2n\right) H_n(x)=0
を満たす多項式H_n(x)のことを言う。
またこの微分方程式はスツルム=リウヴィル型微分方程式の一つである。
エルミート多項式は重み関数e^として、次の直交性を持つ。
:\int^\infty_H_n(x)H_m(x)e^dx=\delta _2^n \sqrtn!
ロドリゲスの公式を用いれば、
:H_n(x)=(-1)^ne^\frace^
と表記できる。
これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。
:H_(x)=2xH_n(x)-2nH_(x)
:H'_n(x)=2nH_(x)
:H'_n(x)=2xH_n(x)-H_(x)
母関数
:S(x,y)=e^=\sum^\infty_H_n(x)\frac
である。
一般項は
:H_n(x)=n!\sum_^\dfrac
である。ここで使われている\leftは、次のような数である。
:\left=\Bigg\\begin\dfrac & (n:even) \\ \dfrac & (n:odd) \end
エルミート多項式は量子化された調和振動子波動関数の一部としてその姿を現す。
==関連項目==

*シャルル・エルミート
*スツルム=リウヴィル型微分方程式
* 特殊関数


抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「エルミート多項式」の詳細全文を読む



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