翻訳と辞書 Words near each other ・ オイラーのφ関数 ・ オイラーのガンマ ・ オイラーのコマ ・ オイラーのトーシェント函数 ・ オイラーのトーシェント関数 ・ オイラーのトーティエント関数 ・ オイラーの五角数定理 ・ オイラーの公式 ・ オイラーの分割恒等式 ・ オイラーの和公式 ・ オイラーの四平方恒等式 ・ オイラーの多面体定理 ・ オイラーの定数 ・ オイラーの定理 ・ オイラーの定理 (平面幾何学) ・ オイラーの定理 (微分幾何学) ・ オイラーの定理 (数論) ・ オイラーの式 ・ オイラーの微分方程式 ・ オイラーの方程式 (流体力学) Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク オイラーの四平方恒等式 ： ウィキペディア日本語版 オイラーの四平方恒等式[おいらーのよんへいほうこうとうしき] 数学において、オイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) とは、4つの平方数の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。 :: =&(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4)^2\\ +&(a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\\ +&(a_1 b_3 - a_2 b_4 - a_3 b_1 + a_4 b_2)^2\\ +&(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_1)^2. \end オイラーはゴールドバッハ宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている〔''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193〕〔''Mathematical Evolutions'', A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174〕（が上記とは異なる符号の取り方をしている）。恒等式はで証明でき、任意の可換環において成り立つ。$a\_k$ と $b\_k$ が実数であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの四元数の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（ブラーマグプタの二平方恒等式では複素数に対して同様であるのと同じように。） 恒等式はラグランジュがラグランジュの四平方定理を証明するために使った。正確に言えば、素数に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の ''ak'' を −''ak'' に、あるいは ''bk'' を −''bk'' に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。 は以下のような定理である。 :$(a\_1^2+a\_2^2+a\_3^2+\backslash dotsb+a\_n^2)(b\_1^2+b\_2^2+b\_3^2+\backslash dotsb+b\_n^2)\; =\; c\_1^2+c\_2^2+c\_3^2+\backslash dotsb+c\_n^2\backslash ,$ の形の恒等式（ただし $c\_i$ は $a\_i$ と $b\_i$ の双線型写像）は、''n'' =  に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的なによって、$c\_i$ を変数の1つの集合の単に有理関数とすれば（分母を許せば）、すべての ''n'' = 2''m'' に対して可能である〔Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf〕。四平方恒等式の別種は次のように与えられる。 : =&(a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\\ +&(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 - a_4 b_2)^2\\ +&\left(a_1 b_2 + a_2 b_1 + \frac - \frac\right)^2\\ +&\left(a_1 b_1 - a_2 b_2 - \frac - \frac\right)^2 \end ただし :$\backslash begin$ u_1 &= b_1^2b_4-2b_1b_2b_3-b_2^2b_4,\\ u_2 &= b_1^2b_3+2b_1b_2b_4-b_2^2b_3. \end 次の副産物にも注意しよう。 :$u\_1^2+u\_2^2\; =\; (b\_1^2+b\_2^2)^2(b\_3^2+b\_4^2).$ == 関連項目 == *ブラーマグプタの二平方恒等式（2つの平方数の和） 　 　 *ラテン方格 (Latin square) 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「オイラーの四平方恒等式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.