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オイラー数 : ウィキペディア日本語版
オイラー数[おいらーすう]

オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。 形式的には、テイラー級数:
:
\operatorname\,z = \frac = \sum_^\fracz^k

における E_k がオイラー数である。 この数列は整数であり、奇数項がすべて 0、偶数項の符号が交互に切り替わることが特徴である。 双曲線正割関数の代わりに、三角関数の正割関数:
:
\sec z = \sum_^\fracz^k

の展開級数 \hat_k (セカント数) をオイラー数と呼ぶこと〔http://mathworld.wolfram.com/SecantNumber.html Wolfram MathWorld - Secant Number〕もある。 なお、\hat_=(-1)^kE_ の関係が成立し、必ず正の整数となる。
== 漸化式 ==
オイラー数は次の漸化式を満たす。 この漸化式によって、すべてのオイラー数が整数であることがわかる。
::
E_0=1,\quad \sum_^n E_ = 0

この漸化式は偶数項のオイラー数しか与えない。 奇数項のオイラー数は上で説明したように、必ずゼロである。 この漸化式を利用すると、下表のオイラー数が算出される。

この表に示すように、n の上昇に対してオイラー数 E_ の絶対値は非常に速く増加する。その絶対値は次に示す漸近的な性質にしたがう。
::
|E_| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac\right)^\quad\quad
(n\rightarrow\infty)


抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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