翻訳と辞書 Words near each other ・ オイラー積 ・ オイラー積分 ・ オイラー素数 ・ オイラー線 ・ オイラー表示 ・ オイラー角 ・ オイラー路 ・ オイラー関数 ・ オイラー類 ・ オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン ・ オイラー＝マクローリンの公式 ・ オイラー＝ラグランジュの方程式 ・ オイラー＝ラグランジュ方程式 ・ オイリアンテ ・ オイリアンテ (小惑星) ・ オイリュアンテ ・ オイリュトミー ・ オイリング剤 ・ オイリーボーイ ・ オイル Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク オイラー＝マクローリンの公式 ： ウィキペディア日本語版 オイラーの和公式[おいらー まくろーりんの] 数学において、オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式)は級数の和を与える公式である〔Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula 〕。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、$f(x)$が多項式であるような場合を除き、$m\backslash to\backslash infty$とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。この公式は台形公式による数値積分の誤差を示すものとも考えられる。 :$\backslash sum\_^f(j)=\backslash int\_^f(x)dx+\backslash sum\_^\backslash frac\backslash left(f^(n)-f^(0)\backslash right)+R\_$ :$\backslash sum\_^f(j)+\backslash frac\backslash left(f(0)+f(n)\backslash right)=\backslash int\_^f(x)dx+\backslash sum\_^\backslash frac\backslash left(f^(n)-f^(0)\backslash right)+R\_$ :$R\_=(-1)^\backslash int\_^\backslash fracf^(x)dx$ 但し、$B\_n$はベルヌーイ数、$B\_n(x)$はベルヌーイ多項式である。 :$B\_1=-\backslash frac,B\_2=\backslash frac,B\_3=0,B\_4=-\backslash frac,B\_5=0,B\_6=\backslash frac,B\_7=0,B\_8=-\backslash frac,B\_9=0,B\_=\backslash frac,\backslash cdots$ :$B\_0(x)=1,B\_1(x)=x-\backslash frac,B\_2(x)=x^2-x+\backslash frac,B\_3(x)=x^3-\backslash fracx^2+\backslash fracx,B\_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\backslash frac,\backslash dots$ なお、$f^$は導関数、$\backslash lfloor\backslash rfloor$は床関数を表す。 == 証明 == ベルヌーイ多項式の性質(若しくは定義)により :$\backslash int\_^1\backslash fracf^(x)dx=\backslash int\_^1\backslash left(\backslash frac\backslash right)\text{'}f^(x)=\backslash left$_0^1-\int_^1\fracf^(x)dx である。有限回の部分積分を繰り返して :$\backslash int\_^1f(x)dx=\backslash int\_^1B\_0(x)f(x)dx=\backslash sum\_^\backslash left$_0^1+(-1)^\int_^1\fracf^(x)dx となるが、これは$f(x)$を$f(j+x)$に置き換えても成り立つから : &=\sum_^\sum_^\left_0^1+(-1)^\int_^\fracf^(x)dx \end である。$B\_1(0)=-\backslash textstyle\backslash frac,$$B\_1(1)=\backslash textstyle\backslash frac,B\_(0)=B\_(1)=B\_,$$B\_(0)=B\_(1)=B\_=0$を代入すれば :$\backslash int\_^f(x)dx=\backslash sum\_^f(j)-\backslash fracf(0)+\backslash fracf(n)-\backslash sum\_^(-1)^\backslash frac\backslash left(f^(n)-f^(0)\backslash right)-R\_m$ :$R\_m=(-1)^\backslash int\_^\backslash fracf^(x)dx$ を得る。移項して形式を整えると :$\backslash sum\_^f(j)=\backslash int\_^f(x)dx+\backslash sum\_^\backslash frac\backslash left(f^(n)-f^(0)\backslash right)+R\_$ となる。或いは :$\backslash begin\backslash sum\_^f(j)+\backslash frac\backslash left(f(0)+f(n)\backslash right)$ &=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_\\ &=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_\\ \end となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「オイラーの和公式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Euler-Maclaurin formula 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.