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オイラー=マクローリンの公式 : ウィキペディア日本語版
オイラーの和公式[おいらー まくろーりんの]
数学において、オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式)は級数の和を与える公式である〔Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula 〕。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、f(x)が多項式であるような場合を除き、m\to\inftyとすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。この公式は台形公式による数値積分の誤差を示すものとも考えられる。
:\sum_^f(j)=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_
:\sum_^f(j)+\frac\left(f(0)+f(n)\right)=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_
:R_=(-1)^\int_^\fracf^(x)dx
但し、B_nベルヌーイ数B_n(x)ベルヌーイ多項式である。
:B_1=-\frac,B_2=\frac,B_3=0,B_4=-\frac,B_5=0,B_6=\frac,B_7=0,B_8=-\frac,B_9=0,B_=\frac,\cdots
:B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac,B_2(x)=x^2-x+\frac,B_3(x)=x^3-\fracx^2+\fracx,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac,\dots
なお、f^は導関数、\lfloor\rfloor床関数を表す。
== 証明 ==
ベルヌーイ多項式の性質(若しくは定義)により
:\int_^1\fracf^(x)dx=\int_^1\left(\frac\right)'f^(x)=\left_0^1-\int_^1\fracf^(x)dx
である。有限回の部分積分を繰り返して
:\int_^1f(x)dx=\int_^1B_0(x)f(x)dx=\sum_^\left_0^1+(-1)^\int_^1\fracf^(x)dx
となるが、これはf(x)f(j+x)に置き換えても成り立つから
:\begin\int_^f(x)dx&=\sum_^\int_^f(j+x)dx\\
&=\sum_^\sum_^\left_0^1+(-1)^\int_^\fracf^(x)dx
\end
である。B_1(0)=-\textstyle\frac,B_1(1)=\textstyle\frac,B_(0)=B_(1)=B_,B_(0)=B_(1)=B_=0を代入すれば
:\int_^f(x)dx=\sum_^f(j)-\fracf(0)+\fracf(n)-\sum_^(-1)^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)-R_m
:R_m=(-1)^\int_^\fracf^(x)dx
を得る。移項して形式を整えると
:\sum_^f(j)=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_
となる。或いは
:\begin\sum_^f(j)+\frac\left(f(0)+f(n)\right)
&=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_\\
&=\int_^f(x)dx+\sum_^\frac\left(f^(n)-f^(0)\right)+R_\\
\end
となる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「オイラーの和公式」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Euler-Maclaurin formula 」があります。



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