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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク カタラン数 ： ウィキペディア日本語版 カタラン数[かたらんすう] カタラン数（カタランすう、）は、自然数のうち、ベルギーの数学者ウジェーヌ・カタランに因んで名付けられた数である。''n''番目のカタラン数 ''C'' は以下の式で表される。 :$C\_n\; =\backslash frac\; =\backslash frac$ カタラン数を数列として順に列記すると :1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...（） 二項係数を用いた形でカタラン数を表現すると :$C\_n\; =\; -\; \backslash quad\backslash mboxn\backslash ge\; 1$ となる。また漸化式では :$C\_0\; =1,\backslash quad\; C\_=\backslash frac\; \backslash ,\; C\_n=\backslash sum\_^C\_i\backslash ,C\_=\; C\_0\; \backslash ,\; C\_n\; +\; C\_1\; \backslash ,\; C\_\; +\; C\_2\; \backslash ,\; C\_\; +\backslash cdots\; +C\_n\; \backslash ,\; C\_0$ 母関数は :$\backslash frac=\; \backslash sum\_^\backslash infty\; \backslash frac$ となる。 ''n'' が十分大きいとき、次の式でカタラン数を近似することができる。（なおこれはウォリスの公式から証明できる） :$C\_n\; \backslash sim\; \backslash frac$ ''n'' = 2 − 1（メルセンヌ数）のときのみ ''C'' は奇数となり、それ以外の ''n'' における ''C'' は偶数となる。'C'' は以下の式で表される。 :$C\_n\; =\backslash frac\; =\backslash frac$ カタラン数を数列として順に列記すると :1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...（） 二項係数を用いた形でカタラン数を表現すると :$C\_n\; =\; -\; \backslash quad\backslash mboxn\backslash ge\; 1$ となる。また漸化式では :$C\_0\; =1,\backslash quad\; C\_=\backslash frac\; \backslash ,\; C\_n=\backslash sum\_^C\_i\backslash ,C\_=\; C\_0\; \backslash ,\; C\_n\; +\; C\_1\; \backslash ,\; C\_\; +\; C\_2\; \backslash ,\; C\_\; +\backslash cdots\; +C\_n\; \backslash ,\; C\_0$ 母関数は :$\backslash frac=\; \backslash sum\_^\backslash infty\; \backslash frac$ となる。 ''n'' が十分大きいとき、次の式でカタラン数を近似することができる。（なおこれはウォリスの公式から証明できる） :$C\_n\; \backslash sim\; \backslash frac$ ''n'' = 2 − 1（メルセンヌ数）のときのみ ''C'' は奇数となり、それ以外の ''n'' における ''C'' は偶数となる。' は以下の式で表される。 :$C\_n\; =\backslash frac\; =\backslash frac$ カタラン数を数列として順に列記すると :1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...（） 二項係数を用いた形でカタラン数を表現すると :$C\_n\; =\; -\; \backslash quad\backslash mboxn\backslash ge\; 1$ となる。また漸化式では :$C\_0\; =1,\backslash quad\; C\_=\backslash frac\; \backslash ,\; C\_n=\backslash sum\_^C\_i\backslash ,C\_=\; C\_0\; \backslash ,\; C\_n\; +\; C\_1\; \backslash ,\; C\_\; +\; C\_2\; \backslash ,\; C\_\; +\backslash cdots\; +C\_n\; \backslash ,\; C\_0$ 母関数は :$\backslash frac=\; \backslash sum\_^\backslash infty\; \backslash frac$ となる。 ''n'' が十分大きいとき、次の式でカタラン数を近似することができる。（なおこれはウォリスの公式から証明できる） :$C\_n\; \backslash sim\; \backslash frac$ ''n'' = 2 − 1（メルセンヌ数）のときのみ ''C'' は奇数となり、それ以外の ''n'' における ''C'' は偶数となる。 == カタラン数の意味 == カタラン数は様々な意味付けがなされている。以下に例を示す。 ;()を正しく並べる方法 :例えば3組の()を正しく並べる方法は、「((()))」「()(())」「()()()」「(())()」「(()())」の5通りある。これが ''C'' = 5 の場合に対応している。())()) や )(()() といった形は()を正しく並べていないのでカウントしない。 ;二分木 : :''C'' は、''n''個の分岐を持つ（''n'' + 1 枚の葉を持つ）二分木の総数である。上記の図は C = 5 の場合に対応している。 ;格子状の経路数え上げ :''C'' は、縦横''n''マスずつの格子において、次の図のように対角線を跨がずに格子点を通って、向かい合った点を最短距離で繋ぐ道順の総数と説明できる。 : :上記の図は ''C'' = 14 の場合に対応している。 ;平面グラフの交差 :2''n''人が円になって手を交差させないで握手をする場合の数はカタラン数 ''C'' である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「カタラン数」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.