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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ガウス和 ： ウィキペディア日本語版 ガウス和[がうすわ] 数学におけるガウス和（ガウスわ、）とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に :$G(\backslash chi)\; :=\; G(\backslash chi,\; \backslash psi)=\; \backslash sum\; \backslash chi(r)\backslash cdot\; \backslash psi(r)$ で与えられる。ここで和はある有限可換環 ''R'' の元 ''r'' について取られ、ψ(''r'') は加法群 ''R''+ から（複素平面の）単位円への群準同型で、χ(''r'') は単数群 ''R''× から単位円への群準同型である。単元でない ''r'' については と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。 このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して ''L''(''s'', χ) と ''L''(1 − ''s'', ) を関連付ける方程式が :$G(\backslash chi)\backslash \; /\backslash \; |G(\backslash chi)|$ を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし は χ の複素共役である。 カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、''R'' が素数 ''p'' を法とする剰余体 Z/''p''Z で χ がルジャンドル記号であるであった。その場合、ガウスは ''p'' が 4 を法として 1 と合同であるか 3 と合同であるかに応じて ''G''(χ) = ''p''1/2 あるいは ''ip''1/2 であることを証明した。 このガウス和の別の表現は、次のようなものである： :$\backslash sum\; e^$ 二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。 ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和とそれらの円分体内での素元分解を利用することによって構築された。''N'' を法とする整数の剰余環上のガウス和は、と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。 ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理の応用の場面で通常現れる。''R'' が ''p'' 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は ''p''1/2 となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、を参照されたい。'Z で χ がルジャンドル記号であるであった。その場合、ガウスは ''p'' が 4 を法として 1 と合同であるか 3 と合同であるかに応じて ''G''(χ) = ''p''1/2 あるいは ''ip''1/2 であることを証明した。 このガウス和の別の表現は、次のようなものである： :$\backslash sum\; e^$ 二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。 ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和とそれらの円分体内での素元分解を利用することによって構築された。''N'' を法とする整数の剰余環上のガウス和は、と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。 ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理の応用の場面で通常現れる。''R'' が ''p'' 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は ''p''1/2 となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、を参照されたい。 'Z で χ がルジャンドル記号であるであった。その場合、ガウスは ''p'' が 4 を法として 1 と合同であるか 3 と合同であるかに応じて ''G''(χ) = ''p''1/2 あるいは ''ip''1/2 であることを証明した。 このガウス和の別の表現は、次のようなものである： :$\backslash sum\; e^$ 二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。 ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和とそれらの円分体内での素元分解を利用することによって構築された。''N'' を法とする整数の剰余環上のガウス和は、と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。 ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理の応用の場面で通常現れる。''R'' が ''p'' 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は ''p''1/2 となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、を参照されたい。 == ディリクレ指標のガウス和の性質 == ''N'' を法とするディリクレ指標のガウス和は、 :$G(\backslash chi)=\backslash sum\_^N\backslash chi(a)e^$ となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、 :$|G(\backslash chi)|=\backslash sqrt$ となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に ''N''0 が χ の導手 (conductor) であり、χ0 が χ を誘導するような ''N''0 を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ0 のガウス和と次の式によって関係付けられる。 :$G(\backslash chi)=\backslash mu(N/N\_0)\backslash chi\_0(N/N\_0)G(\backslash chi\_0)~$ ここで μ はメビウス関数である。結果として、''N''/''N''0 が平方因子を持たず ''N''0 と互いに素であるときにちょうど ''G''(χ) は非ゼロとなることが分かる。''G''(χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。 :$G(\backslash overline)=\backslash chi(-1)\backslash overline.$ ここで は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を ''N'' と互いに素な ''N''′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。 :$G(\backslash chi\backslash chi^\backslash prime)=\backslash chi(N^\backslash prime)\backslash chi^\backslash prime(N)G(\backslash chi)G(\backslash chi^\backslash prime).$ χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの ''G''(χχ′)、''G''(χ) および ''G''(χ′) の間の関係は、ヤコビ和 ''J''(χ, χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ〔これはガンマ関数 Γ とベータ関数 ''B'' との間にある次の関係式の類似： :$\backslash Gamma(x\; +\; y)\; =\; \backslash frac$ 〕： :$G(\backslash chi\backslash chi^\backslash prime)=\backslash frac.$ 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ガウス和」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.