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数学の一分野、可換環論における環のクルル次元（クルルじげん、）は、ヴォルフガング・クルル (1899–1971) に因んで名づけられた、素イデアルの鎖における真の包含の数の上限である。クルル次元は、ネーター環に対してさえも、必ずしも有限とならない。文脈から意味が明らかなときは、単に次元と呼ぶことも多い。 体 ''k'' のクルル次元は 0 であり、より一般に多項式環 ''k''[''x''1, …, ''x''''n''] は ''n'' をクルル次元にもつ。体でない主イデアル整域はクルル次元 1 を持つ。 == 説明 == 長さ ''n'' の素イデアルの真の昇鎖（増大列）とは : なる形の鎖をいう。つまり長さとしては、素イデアルの数ではなく真の包含関係の数を数えることとする（この二つは 1 しか違わないが）。素イデアル が与えられたとき、その高さ は集合 : の上限と定める。環 ''R'' のクルル次元は、その素イデアル全てにわたる高さの上限として定まる。 永田は任意の素イデアルが高さ有限であるにもかかわらずクルル次元が無限になるような環の例を与えた。 さらに永田は、必ずしも全ての鎖が極大鎖に拡張できるわけではないような環の例も与えている〔Nagata, M. ''Local Rings'' (1962). Wiley, New York.〕。任意の素イデアル鎖を極大鎖に拡張することができるような環はとして知られる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「クルル次元」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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