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グレイシャー・キンケリンの定数 : ウィキペディア日本語版
グレイシャー・キンケリンの定数
数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(''Glaisher–Kinkelin constant'')、またはグレイシャーの定数は、K関数やに関連する数学定数であり、通常''A''とかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるとである。
グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。
:A\approx1.2824271291\dots   .
== 定義 ==
グレイシャー・キンケリンの定数Aは、
:A=\lim_ \frac
極限である。ここで、K(n)=\prod_^ k^kK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。
:\sqrt=\lim_ \frac
πは階乗\prod_^ k、''A''は階乗の類似物であるK関数 K(n)=\prod_^ k^kにより表されている。
バーンズのG関数、G(n)=\prod_^k!=\frac (ここで\Gamma(n)ガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。
:A=\lim_ \frac.
グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。
:\zeta^(-1)=\frac-\ln A
:\sum_^\infty \frac=-\zeta^(2)=\frac\leftA-\gamma-\ln(2\pi)\right
ここで、\gammaオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。
:\prod_^ k^=\left(\frac\right)^.
以下は、この定数を含むいくつかの積分である。
:\int_0^ \ln\Gamma(x)dx=\frac \ln A+\frac \ln 2+\frac \ln \pi
:\int_0^\infty \fracdx=\frac \zeta^(-1)=\frac-\frac\ln A
この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。
:\ln A=\frac-\frac \sum_^\infty \frac \sum_^n \left(-1\right)^k \binom \left(k+1\right)^2 \ln(k+1)

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「グレイシャー・キンケリンの定数」の詳細全文を読む



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