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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク グロス＝ピタエフスキー方程式 ： ウィキペディア日本語版 グロス＝ピタエフスキー方程式 グロス＝ピタエフスキー方程式（グロス＝ピタエフスキーほうていしき、）は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー＝フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。 グロス＝ピタエフスキー方程式の名前は、とに因む。グロス＝ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。 ハートリー＝フォック近似において 体のボソン系全体を表す波動関数 は、個々のボソンに対応する波動関数たち の積状態として表すことができる。 :$$ \Psi(\mathbf_1, \mathbf_2, \dots, \mathbf_N) = \psi(\mathbf_1) \psi(\mathbf_2) \dots \psi(\mathbf_N) \,. ここで は 番目のボソンの位置を表す。 擬ポテンシャルモデルのハミルトニアン として以下のものを考える。 :$$ H = \sum_^N \left\ + \sum_\delta(\mathbf_i-\mathbf_j) \,. はボソンの質量、 は外場によるポテンシャル、 はボソン-ボソン散乱長 を表す。また はデルタ関数である。 一粒子波動関数がグロス＝ピタエフスキー方程式 :$$ \left( - \frac + V(\mathbf) + \vert\psi(\mathbf)\vert^2 \right) \psi(\mathbf) = \mu\psi(\mathbf) を満たす場合、規格化条件 $\backslash int\; dV\; |\backslash Psi|^2\; =\; N$ の下で、全系の波動関数はハミルトニアンの期待値を最小化する。 上記の方程式はボース＝アインシュタイン凝縮体の一粒子波動関数に対するモデル方程式となっている。グロス＝ピタエフスキー方程式はギンツブルグ＝ランダウ方程式と似た形をしており、また非線形シュレーディンガー方程式として言及されることも多い。 ボース＝アインシュタイン凝縮体とは、すべてのボソンが同じ量子状態をとり、従ってすべてのボソンが同じ波動関数によって記述されるようなボソン気体である。自由粒子の運動は一粒子のシュレーディンガー方程式によって記述できる。一方で実在気体に関して、粒子間の相互作用は適当な多体のシュレーディンガー方程式を扱う必要がある。気体粒子間の平均距離が散乱長より大きい場合（このような状況を希薄極限 と呼ぶ）、粒子間の相互作用ポテンシャルを近似することができ、グロス＝ピタエフスキー方程式においては擬ポテンシャルで置き換えられる。 グロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性は粒子間相互作用に起源を持つ。粒子間相互作用とグロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性との関係は、グロス＝ピタエフスキー方程式の相互作用結合定数をゼロへ持って行くことで明らかになる（詳細は次節）：結合定数の影響を無視できるなら、グロス＝ピタエフスキー方程式はトラップポテンシャルに束縛される粒子の一粒子シュレーディンガー方程式へと回帰する。 == 方程式の構成 == グロス＝ピタエフスキー方程式はシュレーディンガー方程式に相互作用項を加えた形をしている。結合定数 は相互作用する二つのボソンの間の散乱長 に比例する： :$g=\backslash frac\backslash ,.$ ここで $\backslash hbar$ は換算プランク定数であり はボソンの質量である。 エネルギー密度は :$$ \mathcal = \frac \vert\nabla\Psi(\mathbf)\vert^2 + V(\mathbf)\vert\Psi(\mathbf)\vert^2 + \fracg\vert\Psi(\mathbf)\vert^4 となる。ここで は波動関数かあるいは秩序変数であり、 は外場によるポテンシャルである。 粒子数が保存する、時間に依存しないグロス＝ピタエフスキー方程式は以下のようになる。 :$$ \mu \Psi(\mathbf) = \left( - \frac\nabla^2 + V(\mathbf) + g\vert\Psi(\mathbf)\vert^2 \right) \Psi(\mathbf)\,. ここで は化学ポテンシャルである。化学ポテンシャルは波動関数の規格化条件によって与えられる。 :$N\; =\; \backslash int\backslash vert\backslash Psi(\backslash mathbf)\backslash vert^2\; \backslash ,\; d^3r\backslash ,.$ 時間に依存しないグロス＝ピタエフスキー方程式より、調和トラップなど様々なトラップポテンシャル中でのボース＝アインシュタイン凝縮体の振る舞いを見ることができる。 時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式は以下のように表される。 :$$ i\hbar\frac = \left( - \frac\nabla^2 + V(\mathbf) + g\vert\Psi(\mathbf,t)\vert^2 \right)\Psi(\mathbf,t)\,. 時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式は、ボース＝アインシュタイン凝縮体の動力学を記述する。時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式はポテンシャルに捕獲された気体の集団モードの研究などで用いられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「グロス＝ピタエフスキー方程式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.