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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ゲルファント・ナイマルクの定理 ： ウィキペディア日本語版 ゲルファント＝ナイマルクの定理[-のていり] 作用素環論において、ゲルファント＝ナイマルクの定理(-のていり、)とはC *-環の基本構造定理。可換なC *-環がある（局所）コンパクト・ハウスドルフ空間上の連続な複素数値関数のなす関数環と等距離 *-同型となることを主張する。1943年にロシアの数学者イズライル・ゲルファントとによって、 導かれた〔 I. M. Gelfand and M. A. Naimark, "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space ," ''Mat. Sbornik N. S.'' 12 (2) pp. 197–217 (1943) 〕〔Robert S. Doran and Josef Wichmann, "The Gelfand-Naimark theorems for C * -algebras," ''Enseignement Math.'' 23 pp. 153–180 (1977)　〕。C *-環の構造を分類する基本定理であるともに、位相群上の抽象調和解析や正規作用素のスペクトル理論に応用される。圏論的な観点では、局所コンパクトハウスドルフ空間のなす圏と可換なC *-環のなす圏の圏同値を意味しており〔Joan W. Negrepontis, "Duality in analysis from the point of view of triples," ''J. Algebra'' 19 pp. 228–253 (1971) 〕、アレクサンドル・グロタンディークによるスキーム理論の形成にも影響を与えた。なお、可換とは限らない一般のC *-環については、あるヒルベルト空間上の有界作用素がなすC *-環と等距離 *-同型となるが、この定理もゲルファント＝ナイマルクの定理と呼ばれる。可換及び非可換なC *-環における構造を示した二つのゲルファント＝ナイマルクの定理は、アラン・コンヌによる非可換幾何の創設の動機付けの一つともなっている。 == 導入 == C *-環$\backslash mathcal$は有界作用素の有する性質を抽象化した複素数体上の多元環であり、積$ab$、和$a+b$、複素数倍$\backslash lambda$の演算($a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathcal$, $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb$)に加えて、対合と呼ばれる随伴作用に対応する作用$\backslash ast:a\backslash rightarrow\; a^\backslash ast$を持つ。また、$\backslash mathcal$にはノルム$||\backslash cdot\; ||$が付随し、ノルムから定まる一様位相について完備なバナッハ空間である。$\backslash mathcal$において、ノルムは不等式$||ab||\backslash leq||a||\; \backslash ,\; ||b||$を満たすとともに、C *-性と呼ばれる条件$||a^\backslash ast\; a|||=||a||^2$を満たす。 可換なC *-環の例としては、コンパクト・ハウスドルフ空間$\backslash Omega$上の連続な複素数値関数のなす集合$C(\backslash Omega)$が挙げられる。$C(\backslash Omega)$に積を$f\; \backslash cdot\; g(t)=f(t)\; g(t)$で、対合を$f^\backslash ast(t)=\backslash bar(t)$で定義し、ノルムをスープ・ノルム$||f||=\backslash sup\_|f(t)|$とする。このとき、$C(\backslash Omega)$は単位元として定数関数$f\; \backslash equiv\; 1$を持つ可換な単位的なC *-環となる。 また、非可換なC *-環の例としては、ヒルベルト空間$\backslash mathcal$上の有界作用素のなす代数$\backslash mathcal(\backslash mathcal)$が挙げられる。ここで、ノルムは作用素ノルム$||a||=\backslash sup\_||a\backslash xi||$で与えられ、対合は内積$\backslash langle\; ,\; \backslash rangle$に対し、$\backslash langle\; a^\backslash ast\; \backslash xi,\; \backslash eta\; \backslash rangle=\backslash langle\; \backslash xi,a\; \backslash eta\; \backslash rangle$を満たす随伴作用素$a^\backslash ast$により定義される。 二つのゲルファント＝ナイマルクの定理は、抽象的に定義されたC *-環の構造がこれらの例に分類できることを述べている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ゲルファント＝ナイマルクの定理」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Gelfand-Naimark theorem 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.