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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ゲルファント・ナイマルク・シーガル表現 ： ウィキペディア日本語版 GNS表現[-ひょうげん] 作用素代数や数理物理学において、GNS表現(-ひょうげん、)、またはGelfand-Naimark-Segal表現とは、C *-代数に対し、状態と呼ばれる正値線形汎関数が与えられたときに、ヒルベルト空間上の有界作用素による表現を構成する手法〔H. Araki (2009), chapter.2〕〔O. Bratteli and D. W. Robinson (2002), chapter.2〕。GNSの名は、1940年代にGNS表現を導入した三人の数学者ゲルファント（Gelfand）、（Naimark）、（Segal）〔I. M. Gelfand and M. A. Naimark "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space," ''Mat. Sborn.'', ''N. S.'' 12, pp.197–217 (1943). 〕〔 I. E. Segal, "Irreducible representations of operator algebras," ''Bull. Am. Math. Soc.'' 53, pp.73–88 (1947) 〕の頭文字に由来する。GNS表現では、巡回ベクトルと呼ばれる特別な元に有界作用素による表現を作用させることで、表現空間であるヒルベルト空間自体を生成することができるともに、状態に対する作用素の値は、巡回ベクトルとの内積による期待値として与えられる。このことから、作用素代数に基づく場の量子論や量子統計力学の代数的なアプローチでは、物理量である作用素のなす代数から理論を構築しても、GNS表現を用いることで、通常のヒルベルト空間論に基づく理論との対応づけが可能となる。 == 内容 == C *-代数$\backslash mathfrak$において、$\backslash varphi\; :\backslash mathfrak\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb$を状態（state）〔状態という語は、量子力学また量子統計力学において、作用素として与えられる物理量に対し、状態により期待値が与えられることに由来する。〕、すなわち、以下の性質を満たす、$\backslash mathfrak$から複素数体$\backslash mathbb$への規格化された正値線形汎関数とする。 (1) 線形性 $\backslash varphi(\backslash lambda\; A+\; \backslash mu\; B)=\backslash lambda\; \backslash varphi(A)\; +\backslash mu\; \backslash varphi(B)$ \quad ^\forall A, B \in \mathfrak, \, ^\forall \lambda, \mu \in \mathbb (2) 正値性 $\backslash varphi(A^A)\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; ^\backslash forall\; A\; \backslash in\; \backslash mathfrak$ (3) 規格化条件〔規格化条件は、$\backslash mathfrak$が単位元$I\_$を持つなら、$\backslash varphi(I\_)=1$と等価である。〕 $||\backslash varphi||=\backslash sup\; \backslash =1$ このとき、$\backslash mathfrak$のヒルベルト空間$\backslash mathcal\_$上の表現、すなわち、$\backslash mathfrak$から$\backslash mathcal\_$の有界作用素のなす代数$\backslash mathcal(\backslash mathcal\_)$への *-準同型写像〔準同型写像$\backslash pi$は$\backslash pi(A^)=\backslash pi(A)^$を満たす時、 *-準同型写像と呼ばれる。〕 $\backslash pi\_\backslash varphi:\backslash mathfrak\; \backslash rightarrow\; \backslash mathcal(\backslash mathcal\_)$で、次の条件を満たすものを構成することができる。この表現をGNS表現と呼ぶ。 1.　ある元$\backslash Omega\_\backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathcal\_$が存在し、 :$$ \varphi(A)=\lang \Omega_\varphi,\pi_\varphi(A) \Omega_\varphi \rang \quad ^\forall A \in \mathfrak を満たす。但し、$\backslash lang\; \backslash ,\; ,\; \backslash ,\; \backslash rang$は$\backslash mathcal\_$上の内積である。 2.　$\backslash Omega\_\backslash varphi$は巡回ベクトル（cyclic vector）をなす。すなわち、 :$$ \pi_\varphi(\mathfrak)\Omega_\varphi =\ はノルムによる強位相について、$\backslash mathcal\_$で稠密である。 なお、1.のように内積の形式で与えられる状態をベクトル状態といい、2.のように巡回ベクトルをもつ表現を巡回表現という。 GNS表現により、状態$\backslash varphi$から導入される組$(\backslash mathcal\_,\backslash pi\_\backslash varphi,\backslash Omega\_\backslash varphi)$をGNS構成と呼ぶ。GNS構成はユニタリ同値を除いて、一意的である。したがって、$(\backslash mathcal\_,\backslash pi\_\backslash varphi,\backslash Omega\_\backslash varphi)$と$(\backslash mathcal\text{'}\_,\backslash pi\text{'}\_\backslash varphi,\backslash Omega\text{'}\_\backslash varphi)$がともにGNS構成であるとき、ユニタリ作用素 $U:\; \backslash mathcal\_\backslash rightarrow\; \backslash mathcal\text{'}\_$が存在し、 :$$ \pi_(A) U = U \pi'_(A) \quad ^\forall A \in \mathfrak が成り立つ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「GNS表現」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.