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作用素環論において、ゲルファント＝マズールの定理(ゲルファント＝マズールのていり、)とはバナッハ環の基本定理の一つである。単位元を持つ複素バナッハ環が可除環であれば、複素数体と同型であることを主張する。可換なバナッハ環におけるゲルファント理論において、基本的な役割を果たす。定理の名は、定理を導いたポーランドの数学者とロシアの数学者イズライル・ゲルファントに因む〔 S. Mazur, "Sur les anneaux linéaires ," ''C. R. Acad. Sci. Paris'' 207''pp. 1025-1027 (1938)〕〔 I. Gelfand, "Normierte Ringe ," ''Mat. Sbornik N. S.'' 9 (51) pp.3-24 (1941) 〕。1938年にマズールは実バナッハ環についての結果を証明なしで報告し、その後、1941年にゲルファントは複素バナッハ環における結果を示した。 9 (51) pp.3-24 (1941) 〕。1938年にマズールは実バナッハ環についての結果を証明なしで報告し、その後、1941年にゲルファントは複素バナッハ環における結果を示した。 == 定理の内容 == 単位元''I'' を持つ複素バナッハ環''A'' において、''A'' が体、すなわち0を除くすべての元が可逆であるとする。このとき、''A'' は複素数体Cと等距離同型である。 定理の証明は、作用素論の基本的な結果に基づく。任意の''a'' ∈''A''に対し、スペクトル集合σ(''a'' )は空集合でないことから、''a'' -λ ''I'' ∈ σ(''a'' )となるλ ∈Cが存在する。一方、仮定により、0を除く全ての元が可逆であることから、''a'' =λ''I'' となる。 なお、''A'' が実数体を係数体とする実バナッハ環の場合には、''A'' は実数体、複素数体、または四元数体と同型になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ゲルファント＝マズールの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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