コクセター群について

Words near each other

・コクシジウム症
・コクシジウム綱
・コクシジオイデス症
・コクシジオイド症
・コクシディア亜綱
・コクシムソウ
・コクジャク
・コクジャク属
・コクスアイデ空軍基地
・コクセター
・ コクセター図形
・コクセター系
・コクセター群
・コクセター群の同型問題
・コクセター行列
・コクソン・ドッド
・コクゾウムシ
・コクタ
・コクタン
・コクタ社

Dictionary Lists

mini英和辞書

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ]

スポンサードリンク

コクセター図形：ウィキペディア日本語版

コクセター群[こくせたーぐん]

数学においてコクセター群（コクセターぐん、）とは鏡映変換で表示できる抽象群のことである。ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターに因んで名づけられた。有限コクセター群は何らかのユークリッド鏡映群（たとえば一般次元正多胞体の対称変換群など）になっている。もちろん、すべてのコクセター群が有限群とは限らないし、すべてのコクセター群をユークリッド的な鏡映や対称変換として記述できるわけでもない。コクセター群は鏡映群の抽象化として導入され、有限コクセター群の分類は完了している。
コクセター群は数学のいくつもの分野に現れる。一般次元正多胞体の対称変換群や単純リー代数のワイル群は有限コクセター群の例であり、ユークリッド平面や双曲平面の正則三角形分割 (regular tessellation) に対応する三角群や無限次元カッツ-ムーディ代数のワイル群は無限コクセター群の例である。
コクセター群に関する標準的な文献としてはやなどがある。
== 定義 ==
生成系 ''S'' をもつ群 ''W'' がコクセター群である、または組 (''W'', ''S'') がコクセター系 (''Coxeter system'') であるとは、以下の3条件がすべて満たされるときにいう。
# ''S'' は対合からなる： ''s'' ∈ ''S'' ならば、必ず ''s''² = 1 が成り立つ。
# 組み紐関係式 (''braid relation'')： ''s'', ''t'' ∈ ''S'' が ''s'' ≠ ''t'' であるならば、2 以上のある整数（または ∞）''m''_''s'',''t'' で (''st'')^{''m''_''s'',''t''} = 1 となるものが取れる。
# それ以外に生成元の間には関係がない。
ただし、''m''_''s'',''t'' = ∞ は ''s'' と ''t'' の間に関係がないことを表す。これは次のように書く事もできる。
# ''s'' ∈ ''S'' ならば ''s''^-1 = ''s'' が成り立つ。
# ''s'', ''t'' ∈ ''S'' で ''s'' と ''t'' が相異なるとき、''s'' と ''t'' には関係が無いか、関係がある場合には次が成り立つ; ''s'' と ''t'' を交互に ''m''_''s'',''t'' 個並べる方法が 2 通りあるが、そのいずれも同じ元を定めるような 2 以上の整数 ''m''_''s'',''t'' が存在する。
#: ''stststst''… = ''tstststs''… （両辺とも因数の数は ''m''_''s'',''t'' 個）
# 生成元はそれ以外に関係式を持たない。
また、''S'' = とすれば以下のように表示できる:
:

W = \langle x_1,x_2,\ldots,x_n \mid x_i^2,\, (x_j x_k)^\rangle

ただし、''i'', ''j'', ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' かつ ''m''_''i'',''j'' (''i'' ≠ ''j'') は 2 以上の整数か ∞ である。
(''W'', ''S'') がコクセター系であるとき、生成系 ''S'' に属する元の個数 |''S''| をコクセター群 ''W'' の階数 (''rank'') といい、rank ''W'' と表す。また生成元の部分集合 ''J'' ⊆ ''S'' で生成されるコクセター群 ''W'' の部分群 ''W_J'' もコクセター群になる。このような部分群 ''W_J'' を放物型部分群という。
''G'' が ''S'' を生成系とするコクセター群であるとき、(''st'')^{''m''_''s'',''t''} = 1 となる''m''_''s'',''t'' (''s'', ''t'' ∈ ''S'') を成分とする |''S''| 次の対称行列
:

M = (m_)_

をコクセター行列 (''Coxeter matrix'') （あるいは行列要素 ''m''_''s'',''t'' を 2 変数の関数と見て、コクセターデータ）という。ただし、''s'' ∈ ''S'' に対して ''m''_''s'',''s'' = 1 である。コクセター行列が与えられたとき、コクセター図形 (''Coxeter graph'', ''Coxeter diagram'') と呼ばれる図形が
# 各生成元 ''s'' ∈ ''S'' に対応して、|''S''| 個の頂点を打つ。
# ''m''_''s'',''t'' = 2 ならば何もしない。
# ''m''_''s'',''t'' ≥ 3 ならば ''s'', ''t'' に対応する頂点を辺で結び、辺に ''m''_''s'',''t'' の値を記す。
という手順で定まる。逆に、コクセター図形が 1 つ与えられれば、コクセター行列を復元することができ、したがってコクセター群が一つ定められる。すなわち、コクセター群を与えること、コクセター行列を与えること、コクセター図形を与えることの三者は等価である。
コクセター図形が 2 つ以上の連結成分に分かれるとき、対応するコクセター群は各連結成分に対応するコクセター群たちの直積に分解される。連結なコクセター図形あるいはそれに対応するコクセター群は既約であるという。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
■ウィキペディアで「コクセター群」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Coxeter group 」があります。

スポンサードリンク

翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース