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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク コホモロジー論 ： ウィキペディア日本語版 コホモロジー 数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) はコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論の''チェイン''に割り当てる。 位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。''チェイン''についての位相的不変関係としての''ホモロジー''の最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。用語によって、多くの応用において''コホモロジー''、理論、が''ホモロジー''よりも自然であるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数とを扱う。空間 ''X'' と ''Y''、そして ''Y'' 上のある種の関数 ''F'' が与えられたとすると、任意の写像 ''f'' : ''X'' → ''Y'' に対して、''f'' との合成は ''X'' 上の関数 ''F'' o ''f'' を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象を区別できるのである。 == 定義 == 代数トポロジーにおいて、空間のコホモロジー群は次のように定義できる（Hatcher を参照）。位相空間 ''X'' が与えられたとき、チェイン複体 : $\backslash cdots\; \backslash rightarrow\; C\_n\; \backslash stackrel\backslash \; C\_\; \backslash rightarrow\; \backslash cdots$ を、特異ホモロジー（あるいは）の定義でのように、考えよ。ここで、''Cn'' は ''X'' における特異 ''n''-単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群であり、∂''n'' は ''n'' 次バウンダリ作用素である。 さて各 ''Cn'' をその双対空間 ''C *n−1'' = Hom(''Cn, G'') で置き換え、∂''n'' を転置 : $\backslash delta^n\backslash colon\; C\_^$ * \rightarrow C_^ * で置き換えて、コチェイン複体 : $\backslash cdots\; \backslash leftarrow\; C\_^$ * \stackrel\ C_^ * \leftarrow \cdots を得る。すると''G'' に係数をもつ ''n'' 次コホモロジー群 (the ''n''th cohomology group with coefficients in ''G'') が Ker(δ''n''+1)/Im(δ''n'') で定義され、''Hn''(''C''; ''G'') と表記される。''C *n'' の元は ''G'' に係数をもつ特異 ''n''-コチェイン (singular ''n''-cochain) と呼ばれ、δ''n'' はコバウンダリ作用素 (coboundary operator) と呼ばれる。Ker(δ''n''+1), Im(δ''n'') の元はそれぞれ コサイクル (cocycle)、コバウンダリ (coboundary) と呼ばれる。 上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体のみならず一般のチェイン複体に対しても適用することができることに注意しよう。一般コホモロジー群の研究はホモロジー代数学の発達の主要なモチベーションであった。そして、広く様々な設定における応用がそれ以来見つかってきた（下記参照）。 ''C *n-1'' の元 φ が与えられると、転置の性質から ''C *n'' の元として $\backslash delta^n(\backslash varphi)\; =\; \backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash partial\_n$ であることが従う。この事実をコホモロジーとホモロジー群を関連付けるのに以下のように関連付けるのに使うことができる。Ker(δ''n'') のすべての元 φ は ∂''n'' の像を含む核をもつ。なので φ を Ker(∂''n''−1) に制限することができ、∂''n'' の像による商をとり Hom(''Hn, G'') の元 ''h''(φ) を得る。φ が δ''n''−1 の像にも含まれていれば、''h''(φ) は 0 である。なので Ker(δ''n'') による商をとることができ、次の準同型を得る。 :$h:\; H^n\; (C;\; G)\; \backslash rightarrow\; \backslash text(H\_n(C),G).$ この写像 ''h'' は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。 :$0\; \backslash rightarrow\; \backslash ker\; h\; \backslash rightarrow\; H^n(C;\; G)\; \backslash stackrel\; \backslash text(H\_n(C),G)\; \backslash rightarrow\; 0.$'G'' に係数をもつ ''n'' 次コホモロジー群 (the ''n''th cohomology group with coefficients in ''G'') が Ker(δ''n''+1)/Im(δ''n'') で定義され、''Hn''(''C''; ''G'') と表記される。''C *n'' の元は ''G'' に係数をもつ特異 ''n''-コチェイン (singular ''n''-cochain) と呼ばれ、δ''n'' はコバウンダリ作用素 (coboundary operator) と呼ばれる。Ker(δ''n''+1), Im(δ''n'') の元はそれぞれ コサイクル (cocycle)、コバウンダリ (coboundary) と呼ばれる。 上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体のみならず一般のチェイン複体に対しても適用することができることに注意しよう。一般コホモロジー群の研究はホモロジー代数学の発達の主要なモチベーションであった。そして、広く様々な設定における応用がそれ以来見つかってきた（下記参照）。 ''C *n-1'' の元 φ が与えられると、転置の性質から ''C *n'' の元として $\backslash delta^n(\backslash varphi)\; =\; \backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash partial\_n$ であることが従う。この事実をコホモロジーとホモロジー群を関連付けるのに以下のように関連付けるのに使うことができる。Ker(δ''n'') のすべての元 φ は ∂''n'' の像を含む核をもつ。なので φ を Ker(∂''n''−1) に制限することができ、∂''n'' の像による商をとり Hom(''Hn, G'') の元 ''h''(φ) を得る。φ が δ''n''−1 の像にも含まれていれば、''h''(φ) は 0 である。なので Ker(δ''n'') による商をとることができ、次の準同型を得る。 :$h:\; H^n\; (C;\; G)\; \backslash rightarrow\; \backslash text(H\_n(C),G).$ この写像 ''h'' は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。 :$0\; \backslash rightarrow\; \backslash ker\; h\; \backslash rightarrow\; H^n(C;\; G)\; \backslash stackrel\; \backslash text(H\_n(C),G)\; \backslash rightarrow\; 0.$ コバウンダリ (coboundary) と呼ばれる。 上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体のみならず一般のチェイン複体に対しても適用することができることに注意しよう。一般コホモロジー群の研究はホモロジー代数学の発達の主要なモチベーションであった。そして、広く様々な設定における応用がそれ以来見つかってきた（下記参照）。 ''C *n-1'' の元 φ が与えられると、転置の性質から ''C *n'' の元として $\backslash delta^n(\backslash varphi)\; =\; \backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash partial\_n$ であることが従う。この事実をコホモロジーとホモロジー群を関連付けるのに以下のように関連付けるのに使うことができる。Ker(δ''n'') のすべての元 φ は ∂''n'' の像を含む核をもつ。なので φ を Ker(∂''n''−1) に制限することができ、∂''n'' の像による商をとり Hom(''Hn, G'') の元 ''h''(φ) を得る。φ が δ''n''−1 の像にも含まれていれば、''h''(φ) は 0 である。なので Ker(δ''n'') による商をとることができ、次の準同型を得る。 :$h:\; H^n\; (C;\; G)\; \backslash rightarrow\; \backslash text(H\_n(C),G).$ この写像 ''h'' は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。 :$0\; \backslash rightarrow\; \backslash ker\; h\; \backslash rightarrow\; H^n(C;\; G)\; \backslash stackrel\; \backslash text(H\_n(C),G)\; \backslash rightarrow\; 0.$ 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「コホモロジー」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.