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シュラム・レヴナー発展[しゅらむれう゛なーはってん]
確率論では、パラメータ κ を持つシュラム・レヴナー発展(Schramm–Loewner evolution,SLE)は、確率論的レヴナー発展(SLEκ)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中から(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である弧状の SLE(chordal SLE)と、もう一つは固定された（領域の）内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である放射状の SLE(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。
シュラム・レヴナー発展は、オデッド・シュラムにより、平面の(uniform spanning tree,UST)や(loop-erased random walk,LERW)である確率過程のスケール極限となるであろうという予想として発見され、一連の(Greg Lawler)やウェンデリン・ウェルナー(Wendelin Werner)との共著論文で開拓されてきた。
UST と LERW に対してのシュラム・レヴナー発展とは、平面上の様々な確率過程の(scaling limit)が記述できることが証明されているか、または予想されているものを言う。例を挙げると、(critical percolation)や、臨界イジングモデルや、二重ダイマーモデルや、(self-avoiding walk,SAW)や、その他の共形不変性をもつ臨界統計力学モデルがある。SLE曲線はこれらのモデルの境界面や自分と交わらないランダム曲線のスケール極限である。主要なアイデアは、共形不変性と一種のマルコフ性が、（レヴナーの微分方程式からの駆動函数(driving function)を使い）確率過程に遺伝して、領域の境界上での 1次元ブラウン運動の中へこれらの平面曲線の情報をエンコードすることが可能となる。この方法では、多くの平面モデルの重要な問題が、(Itō calculus)を応用した問題へと翻訳される。実際、この戦略の下、いくつかの数学的に非自明な予言が、物理学者により共形場理論を使い証明された。
==レブナー方程式==
(Loewner differential equation)
D を C と異なる単連結(simply connected)で開いた複素領域とし、γ を D の境界に出発点を持つ D の内部の単純曲線（ D の境界で γ(0) であり、γ((0, ∞)) では、D の部分集合となるような連続函数）とする。各々の t ≥ 0 に対し、γ() 補集合 Dt は単連結となり、従って、リーマンの写像定理により D と共形同値である。ft が D から Dt への正規化された同型であれば、レヴナーがビーベルバッハの予想の仕事 で発見していた微分方程式を満たす。Dt から D への共形写像である、ft の逆函数 gt を使う方が便利であるときもある。以下では、レヴナー微分方程式をレヴナー方程式と記すこととする。
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