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数学の集合論における、ジェネリックフィルター とは、強制法の理論で使われる対象の一種で、 そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。 例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば 連続体仮説(実数全体の集合の濃度が である) を証明することができないということを示すのに使った。 コーエンの証明は、 の値を変えることなしに、 より多くの実数を生成する ジェネリックフィルターを構成することによって為された。 形式的には、''P'' を半順序として、''F'' を ''P'' 上のフィルターとする。 すなわち、''F'' は ''P'' の部分集合で、 #''F'' は空でない #''p'',''q''∈''P'' で、 ''p''≤''q'' で、 ''p'' が ''F'' の要素なら、''q'' も''F'' の要素(''F'' は''上に閉じている'') #''p'' と ''q'' が ''F''の要素なら、''F''の要素''r''で、''r''≤''p'' かつ ''r''≤''q'' となるものが存在する。(''F'' の任意の二要素は''両立'' する。) を満たす。 ''D'' を ''P'' の稠密部分集合の族とする。 フィルター''F'' が ''D''-ジェネリック であるとは、''F'' が ''D''の要素の全てと交わりを持つこと、 すなわち、 : for all E ∈ D となることである。 同様に、''M'' がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、 ''P'' が ''M'' の要素であるとき、''F'' が ''M''上ジェネリックであるとは、 ''D'' を ''P'' の稠密開部分集合とすると、 : for all D ∈ M となることである。 すなわち、 : for all E ∈ D となることである。 同様に、''M'' がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、 ''P'' が ''M'' の要素であるとき、''F'' が ''M''上ジェネリックであるとは、 ''D'' を ''P'' の稠密開部分集合とすると、 : for all D ∈ M となることである。 ''M''上ジェネリックであるとは、 ''D'' を ''P'' の稠密開部分集合とすると、 : for all D ∈ M となることである。 == 参考 == * K. Ciesielski, ''Set Theory for the Working Mathematician'', London Mathematical Society 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ジェネリックフィルター」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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