スターク予想について

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スターク予想：ウィキペディア日本語版

スターク予想[すたーくよそう]

数論では、(Harold Stark)によりで導入され、後日、で拡張されたスターク予想(Stark conjectures)は、数体のガロア拡大 K/k に付随するアルティンのL-函数のテーラー展開の主要項の係数についての予想である。スターク予想は、数体のデデキントのゼータ函数のテーラー展開の主要項を表す解析的類数公式を一般化し、有理数と体の(S-units)へ関係付けたレギュレータの積として表すものである。K/k がアーベル拡大で、L-函数の ''s'' = 0 での位数が 1 のときに、スタークは予想をさらに精密化し、(Stark units)と呼ばれるS-ユニットの存在を予想した。と (Cristian Dumitru Popescu)は、この精密化された予想をさらに高次のゼロ点の位数へ拡張した。

==定式化==

スターク予想は、最も一般的な形では、アルティンのL-函数の主要項は、スタークレギュレータ(Stark regulator)と呼ばれる代数的数のレギュレータのタイプの積であるという予想である。体の拡大がアーベル的で、L-函数の s = 0 での位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、基礎体 k のアーベル拡大である K のクンマー拡大(Kummer extnsion)を生成する根となっているスタークユニットの存在を予想する（K がアーベル拡大でない場合は、クンマー理論で拡大する）。このスターク予想の精密化は、ヒルベルトの第12問題を解くという理論的な意味をもっている。また、特別な場合にはスタークユニットの計算が可能であり、精密化されたスターク予想の信憑性を評価することを可能とし、数体のアーベル拡大を作り出す計算機の重要なツールを提供する。実際、いくつかの数体のアーベル拡大を計算するための標準的なアルゴリズムは、以下にみるように拡大を生成するスタークユニットを作り出すことを意味する。

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