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スターリング数(スターリングすう)は、上昇階乗冪 (rising factorial) や 下降階乗冪(falling factorial) を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者ジェームズ・スターリングが1730年に彼の著書 ''Methodus Differentialis'' で導入した数〔Charalambos A., Charalambides, "Combinatorial Methods in Discrete Distributions," John Wiley & Sons, Inc., p. 73, 2005.〕である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。 第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。 == 第1種スターリング数 == 第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind) と定義する。第1種スターリング数は、 なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、 が挙げられる。なお、は二項係数(二項定理 参照)である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、 であることから導くこともできる。上に示した漸化式にしたがい、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。 下降階乗冪 も第1種スターリング数を含む展開係数をともない、 のべき級数で表現できる。具体的には、 :: と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 を施した値である。この展開式は、 :: であることに注意すれば容易に証明できる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)』 ■ウィキペディアで「スターリング数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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