チェビシェフの和の不等式について

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チェビシェフの和の不等式：ウィキペディア日本語版

チェビシェフの和の不等式[ちぇびしぇふのわのふとうしき]

チェビシェフの和の不等式（チェビシェフのわのふとうしき）は、パフヌティ・チェビシェフの名にちなんだ不等式である。
2つの数列, が単調減少列であるとき、すなわち
:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

であるとき、以下の不等式が成り立つ。
:

\sum_^n a_kb_k \geq \left(\sum_^n a_k\right)\left(\sum_^n b_k\right).

一方が単調減少列で他方が単調増加列、すなわち
:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n

である場合は、以下の不等式が成り立つ。
:

\sum_^n a_kb_k \leq \left(\sum_^n a_k\right)\left(\sum_^n b_k\right).

==証明==
チェビシェフの和の不等式の証明には、:en:rearrangement inequalityを用いる。まず
:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,

を仮定する。rearrangement inequalityにより、
:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与えることがわかる。よって、
:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,

\vdots \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_

となる。両辺それぞれについて総和を取って、
:

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

これを

n^2

で割ると、以下の不等式が得られる。
:

\frac   \geq \frac  \cdot \frac .

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