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ディリクレの関数 : ウィキペディア日本語版
ディリクレの関数[でぃりくれの-かんすう]
ディリクレの関数(ディリクレの-かんすう)とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。
:
f(x)=
\begin
1 & (x \in \mathbb)\\
0 & (x \in \mathbb\smallsetminus \mathbb)
\end

ただし、Q有理数全体の成す集合である。
式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、
: \sup \int^a_b f(x)dx=a-b
: \inf \int^a_b f(x)dx=0
が成り立つから、(sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という)ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。(ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Qルベーグ測度に関して零集合であることによる)
==周期性==
この関数は、任意の有理数aに対して f(x+a)=f(x) となる。これは有理数全体の集合が加法について閉じていることによる。
また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ディリクレの関数」の詳細全文を読む



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