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デデキントのイータ関数 : ウィキペディア日本語版
デデキントのイータ関数[でできんとのいーたかんすう]
数学において、デデキントイータ関数(Dedekind Eta function)は次式で定義される関数である〔Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function 〕。
:\eta(\tau)=e^\prod_^(1-e^)\qquad(\image\tau>0)
ヤコビの三重積の公式により、
:\eta(\tau)=e^\sum_^(-1)^n\left(e^\right)^=\sum_^(-1)^n\left(e^\right)^\qquad(\image\tau>0)
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
== 極と零点 ==
\image\tau>0であれば\left|e^\right|<1であるから、
:\begin\left|\log\eta(\tau)\right|
&=\frac+\sum_^\left|\log(1-e^)\right|\\
&=\frac+\sum_^\sum_^\frac\\
&=\frac+\sum_^\frac\\
&\le\frac+\frac\sum_^\frac\\
&\le\frac-\frac\\
\end
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、\tau=q/rが有理数であれば1-e^=0であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「デデキントのイータ関数」の詳細全文を読む



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