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ナヴィエ・ストークス方程式 : ウィキペディア日本語版
ナビエ–ストークス方程式

ナビエ–ストークス方程式(ナビエ–ストークスほうていしき、)は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた〔C. L. M. H. Navier, "Mémoire sur les lois du mouvement des fluides," ''Mémoires Acad. Roy. Sci. Inst. France'', 6, pp.389-440 (1823)〕〔G. G. Stokes, "On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids," ''Trans. Camb. Phil. Soc.'', 8, pp.287-319(1845)original paper 〕。NS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。
== 導出 ==
運動量の保存則
:\;\frac = F_i + \frac\fracp_,\quad(i,k\in\)\;
を書きかえる。ここで、左辺はラグランジュ微分
:\;\frac := \frac + \boldsymbol \cdot \boldsymbol,\;
:\;\boldsymbol=(v_i)\;\;\boldsymbol=(F_i)\;\;\rho\;\;p_\;はそれぞれ、流速、単位質量あたりに働く外力(加速度)、密度応力テンソル
である。この際にニュートン流体を仮定して
:\; p_= -\left(p + \frac\mu \Theta\right)\delta_ + \mu e_,\;
と置きかえる。ここで、\;\delta_\;\;p\;\;\mu\;はそれぞれ、クロネッカーのデルタ圧力粘性率である。
また、\;e_\;は変形速度テンソル、
:\;e_ := \frac + \frac,\;
\;\Theta\;は、
:\;\Theta := \boldsymbol\cdot \boldsymbol = \frac\sum_^3 e_,\;
で定義される。
これを元の式に代入すると、
:\;\rho \left(\frac - \boldsymbol\times\left(\boldsymbol\times \boldsymbol\right)
+\frac\boldsymbolq^2\right) = \rho \boldsymbol - \boldsymbolp + \frac\boldsymbol\mu\Theta+\boldsymbol(\boldsymbol\cdot\boldsymbol\mu) - \boldsymbol\boldsymbol^2 \mu + \boldsymbol\mu \times (\boldsymbol\times \boldsymbol) - \Theta \boldsymbol\mu
-\boldsymbol\times\boldsymbol\times \mu \boldsymbol,\;
を得る。ただし、\;q:=|\boldsymbol|\;流速の大きさである。この方程式をナビエ–ストークス方程式という。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ナビエ–ストークス方程式」の詳細全文を読む



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