翻訳と辞書 Words near each other ・ ネイピア ライオン ・ ネイピア&サン ・ ネイピアの骨 ・ ネイピア・アンド・サン ・ ネイピア・オブ・マグダラ砲台 ・ ネイピア・セイバー ・ ネイピア・ノーマッド ・ ネイピア・ライオン ・ ネイピア卿 ・ ネイピア数 ・ ネイピア数の無理性の証明 ・ ネイピア数の表現 ・ ネイピア＝ヘストン レーサー ・ ネイピヤ・ライオン ・ ネイフィ・ペレス ・ ネイブル ・ ネイブルランド ・ ネイプルズ ・ ネイプルズ (フロリダ州) ・ ネイボッブ Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ネイピア数の無理性の証明 ： ウィキペディア日本語版 ネイピア数の無理性の証明[ねいぴあすうのむりせいのしょうめい] ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 ''e'' は 2 < ''e'' < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、''e'' が有理数であると仮定して矛盾を導く。''e'' が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。 ''e'' を底とする指数関数 ''e''''x'' は以下のようにテイラー展開される。 :$e^x\; =\; \backslash sum\_^\backslash infty\; \backslash frac$ ''x'' = 1 を代入すると :$e=\; \backslash sum\_^\backslash infty\; \backslash frac\; =\; 1+\backslash frac+\backslash frac+\backslash frac+\; \backslash cdots$ 以下、これを ''e'' の定義として無理数であることを証明する。 == 証明 == $e\; =\; \backslash frac$ を満たす自然数 ''a'', ''b'' が存在すると仮定すると ''b''!・''e'' は以下のように展開される。 :$b!\; \backslash cdot\; e\; =\; \backslash left(b!\; +\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\backslash right)+\; \backslash left\backslash$ 左辺は $b!\; \backslash cdot\; e\; =\; b!\; \backslash cdot\; \backslash frac\; =\; a(b-1)!$ であるから自然数である。右辺は (　) 内の $b!$ から $\backslash frac$ までの項は全て自然数であるが、 内の $\backslash frac$ 以降の全ての項の和は、''b'' が1以上であることから :$$ \left\ = \frac + \frac + \frac + \cdots < \frac + \frac + \frac + \cdots = 1 と 1 未満になる。したがって (　) 内と 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。 ゆえに $e\; =\; \backslash frac$ を満たす自然数 ''a'', ''b'' が存在するという仮定は誤りである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ネイピア数の無理性の証明」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.