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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ハウスドルフ＝ヤングの不等式 ： ウィキペディア日本語版 ハウスドルフ＝ヤングの不等式 数学におけるハウスドルフ＝ヤングの不等式（ハウスドルフ＝ヤングのふとうしき、）は、周期函数のフーリエ係数の''L''''q''-ノルム（''q'' ≥ 2）評価を与える不等式である。はじめに は、特別な値の ''q'' に対してこの不等式を証明し、その後 は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は R''n'' のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるを発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 $f$ に対して、そのフーリエ係数の列 : $\backslash widehat(n)=\backslash frac\backslash int\_0^e^f(x)\backslash ,dx,\backslash quad\; n=0,\backslash pm1,\backslash pm2,\backslash dots$ を返す作用素 ''T'' を考える。パーセバルの定理によれば、''T'' は $L^2$ から $\backslash ell^2$ への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに :$|(Tf)(n)|=|\backslash widehat(n)|=\backslash left|\backslash frac\backslash int\_0^e^f(t)\backslash ,dt\backslash right|\backslash leq\; \backslash frac\; \backslash int\_0^|f(t)|\backslash ,dt$ であるため、''T'' は $L^1$ から $\backslash ell^\backslash infty$ へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース＝ソリンの定理により、任意の 1 < ''p'' < 2 に対して、$L^p$ から $\backslash ell^q$ への作用素として ''T'' はノルム 1 で有界である。ここで :$\backslash frac+\backslash frac=1$ である。すなわち次が得られる。 :$\backslash left(\backslash sum\_^\backslash infty\; |\backslash widehat(n)|^q\backslash right)^\backslash leq$ \left( \frac\int_0^|f(t)|^p\,dt\right)^. これが有名なハウスドルフ＝ヤングの不等式である。''p'' > 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が $L^p$ に属するという事実は、それが $\backslash ell^2$ に属するという事実を意味するのみであり、そのフーリエ級数の成長の次数についての他の情報は得られない。 == 最適な推定 == ハウスドルフ＝ヤング不等式は、調和解析の理論による注意深い評価を用いることで最適なものとすることが出来る。 :$\backslash |\backslash hat\backslash |\_\backslash leq\; p^q^\backslash |f\backslash |\_$ となる。ここで $q=p/(p-1)$ は $p$ のヘルダー共役である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ハウスドルフ＝ヤングの不等式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.