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ハルトークスの拡張定理[はるとーくすのかくちょうていり]
多変数複素函数論では、ハルトークスの拡張定理(Hartogs' extension theorem)は、多変数正則函数の特異点の定理である。非公式には、そのような函数の特異点の台はコンパクトではないので、多変数複素函数の特異集合は、ある方向に無限まで続いていなけらばならないということもできる。詳しくは、孤立特異点と除去可能特異点の考え方は、n > 1 の多変数の複素変数の解析函数と一致するということが、ハルトークスの定理である。この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ・ハルトークス(Friedrich Hartogs)により証明され〔原論文である や, , による様々な歴史的研究報告を参照。特に、最後の参考文献の p. 132 では、「筆者により「 のタイトルで明確に指摘されているように、また読者もすぐに分かるが、証明のためのキーとなるツールはコーシーの積分公式である。」と記載されている。〕 ハルトークスの定理は「ハルトークスの補題」や「ハルトークスの原理」としても知られている。初期のソ連の文献には、〔たとえば、 を参照。この文献では、読者に証明のためには書籍 を紹介している。（しかし、前者の文献では、p 324 の証明は正しくない。〕 この定理は、オズグッド・ブラウンの定理(Osgood-Brown theorem)とも呼ばれ、後日の(William Fogg Osgood)と(Arthur Barton Brown)の仕事としても知られている〔See and .〕。この多変数の正則函数の性質は、ハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)とも呼ばれる、しかし、「ハルトークス現象」という言い方は、偏微分方程式系や畳み込み作用素の解の性質でハルトークスタイプの定理を満たす場合に同じようにも使われる〔See and .〕。
==歴史的な話題==
元々の証明は1906年のフリードリッヒ・ハルトークスにより与えられ、コーシーの積分公式を多変数複素函数に適用して証明された〔。現在は、通常、(Bochner–Martinelli–Koppelman formula)か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマンの方程式の解に依拠して証明される。コーシー・リーマンの方程式のアプローチは、(Leon Ehrenpreis)によりなされ、彼の論文 となった。もうひとつの非常に単純な証明は、論文 により、多変数の正則函数のディリクレ問題の解を使い、(Gaetano Fichera)により与えられた〔フィチェーラの証明は、画期的な論文 は、多変数複素函数論の多くの専門家によるオーバービューが与えられているように思える。 では、この分野の他の重要な定理の正しい役割が記載されている。〕。後日、彼はこの定理を論文 で偏微分方程式のあるクラスへ拡張し、このアイデアは、さらに後日、ギウリアーノ・バラッティにより大きく拡張された〔See .〕。また、金子晃らの(partial differential operator)の日本での研究も、この分野に大きく寄与している〔 や、そこにある文献を参照。〕。彼らのアプローチは、(Ehrenpreis' fundamental principle)を使う。
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