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数学におけるバナッハの不動点定理（バナッハのふどうてんていり、）は、距離空間の理論において重要な役割を担う不動点定理であり、縮小写像の定理あるいは縮小写像の原理としても知られる。この定理はある自己写像の不動点の存在と一意性を保証するものであり、そのような不動点の構成法を提供するものである。1922年に初めて提唱したステファン・バナッハ（1892-1945）の名にちなむ〔http://www.emis.de/journals/BJMA/tex_v1_n1_a1.pdf〕。 == 内容 == ''定義'' (''X'', ''d'') を距離空間とする。このとき写像 ''T'' : ''X'' → ''X'' が ''X'' 上の縮小写像であるとは、ある ''q'' ∈ [0, 1) が存在して、 : が ''X'' 内のすべての ''x'', ''y'' に対して成立することをいう。 バナッハの不動点定理 (''X'', ''d'') を空でない完備距離空間とし、''T'' : ''X'' → ''X'' を縮小写像とする。このとき、''T'' は ''X'' において唯一つの不動点（すなわち、''T''(''x ''注意 1'' 次の不等式は同値であり、を表している： : このような値 ''q'' はすべて ''T'' に対するリプシッツ定数と呼ばれる。またそれらの内で最小のものはしばしば ''T'' の最良リプシッツ定数（the best Lipschitz constant）と呼ばれる。 ''注意 2'' すべての ''x'' ≠ ''y'' に対して ''d''(''T''(''x''), ''T''(''y'')) < ''d''(''x'', ''y'') が成立することは、一般には不動点の存在を保証する上で十分ではない。実際、写像 ''T'' : [1, ∞) → [1, ∞), ''T''(''x'') = ''x'' + 1/''x'' には不動点が存在しない。しかし ''X'' がコンパクトであるなら、この弱い仮定でも不動点の存在と一意性は保証される。実際その不動点は、コンパクト性により必ず存在する ''d''(''x'', ''T''(''x'')) のミニマイザーとして得られる。すると、不動点定理は ''T'' の反復からなる任意の列の極限として得られることが容易に分かる。 ''注意 3'' この定理を実際に使うとき、一般に最も難しい点は ''T''(''X'') ⊆ ''X'' を満たす ''X'' を適切に定めることである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「バナッハの不動点定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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