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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ビネ・コーシーの恒等式 ： ウィキペディア日本語版 ビネ・コーシーの恒等式[びねこーしーのこうとうしき] 代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、)とは、および オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する以下の恒等式〔 〕 : $$ \begin \left(\sum_^n a_i c_i\right) \left(\sum_^n b_j d_j\right) &= \left(\sum_^n a_i d_i\right) \left(\sum_^n b_j c_j\right) + \sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\ &(a_i, b_i, c_i, d_i (i=1,\cdots,n) \in \mathbb) \end のことである。ここで、$\backslash mathbb$は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。 ''ci'' = ''ai'' および ''di'' = ''bi'' とすれば、実数に対するが得られる。これはユークリッド空間 $\backslash mathbb^n$ におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。 ==証明== 右辺第2項を展開すると :$$ \begin &\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\ &= \sum_ (a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i) + \sum_^n a_i c_i b_i d_i - \sum_ (a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i) - \sum_^n a_i d_i b_i c_i \\ &= \left(\sum_ + \sum_ + \sum_ \right) a_i c_i b_j d_j - \left(\sum_ + \sum_ + \sum_ \right) a_i d_i b_j c_j\\ &= \sum_ a_i c_i b_j d_j - \sum_ a_i d_i b_j c_j\\ &= \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right) \end となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。) 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ビネ・コーシーの恒等式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.