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フェルマーの4n+1定理 : ウィキペディア日本語版
二個の平方数の和[にこのへいほうすうのわ]
この記事は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている〔Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function 〕ものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理Wolfram MathWorld: Fermat's 4n+1 Theorem 〕、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理(フェルマーの最終定理とは異なる)などと呼ばれる。
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4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方(冪指数偶数)になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。
具体的に4を法として1に合同な素数とは 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109,\cdots ()

== 証明 ==

=== 素数についての証明 ===
平方剰余の相互法則の補充法則により、p\equiv1\;(\operatorname\;4)であれば
:r^2\equiv-1\;(\operatorname\;p)
となる自然数rが存在する。0\le<\sqrtとすると(x_i,y_i)の組み合せの個数は(\lfloor\sqrt\rfloor+1)^2>pである。従って、(x_1,y_1)\ne(x_2,y_2)
:\equiv\;(\operatorname\;p)
となるものが存在する。x=|x_1-x_2|,y=|y_1-y_2|とすると
:\begin
&\equiv\equiv\;(\operatorname\;p)\\
&\equiv0\;(\operatorname\;p)
\end
である。x,y<\sqrtであるから
:0
であり、故に
:x^2+y^2=p
である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「二個の平方数の和」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Fermat's theorem on sums of two squares 」があります。



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