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フェルマー数（フェルマーすう）とは 22''n'' + 1 （''n'' は自然数）の形に書くことができる自然数のことである。クヌースの矢印表記を用いれば、2↑2↑''n'' + 1 となる。''n'' 番目のフェルマー数はしばしば ''Fn'' と記される。 この式はピエール・ド・フェルマーが、''n'' に自然数を代入したとき常に素数を生成すると主張（予測）したものであるが、後にオイラーが ''n'' = 5 の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された。 実際にフェルマー数の最初の方をいくつか計算してみると、 :''F''0 = 21 + 1 = 3 :''F''1 = 22 + 1 = 5 :''F''2 = 24 + 1 = 17 :''F''3 = 28 + 1 = 257 :''F''4 = 216 + 1 = 65537 :''F''5 = 232 + 1 = 4294967297 :''F''6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 :''F''7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 :''F''8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 という値が得られる。''F''4の65537までは、257ないしそれより小さい既知の素数で割りきれないことを確かめることで、容易に素数であることを確認できる。一方で''F''5以降は（当時の計算技術から見ると）相当に巨大な数であると同時に小さな素因数を含んでいないことが、フェルマーを幻惑し反証の発見にはオイラーを待つこととなった要因の一つである。 == 性質 == === 基本的性質 === フェルマー数は次の漸化式を満たす： :''Fn'' = (''F''''n'' − 1 − 1)2 + 1 :''Fn'' = ''F''''n'' − 1 + 22''n'' − 1''F''0 …''F''''n'' − 2 :''Fn'' = ''F''''n'' − 12 − 2(''F''''n'' − 2 − 1)2 :''Fn'' = ''F''0 …''F''''n'' − 1 + 2 フェルマー数は全て奇数であるから、4番目の式は相異なるどの二つのフェルマー数も互いに素となることを意味することになる。 フェルマー数は次の合同式を満たす。 *''n'' ≥ 2 ならば、''Fn'' ≡ 17 or 41 (mod 72) *''n'' ≥ 2 ならば、''Fn'' ≡ 17, 37, 57 or 97 (mod 100) フェルマー数の代わりに一般の 2''m'' + 1 の形の素数を探すという問題を考えても同じである。一般に ''am'' + 1 が素数ならば、''a'' は偶数で ''m'' は 2 の累乗となる。実際、''a'' が奇数ならば 2 で、''m'' が 1 より大きな奇数 ''k'' で割れるならば ''am/k'' + 1 で割れる。 このことから、2''m'' + 1 が素数ならば、''m'' = 2''n'' となる ''n'' が存在することが分かる。よって 2''m'' + 1 = ''Fn'' である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「フェルマー数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Fermat number 」があります。 スポンサード リンク
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