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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク フロケ理論 ： ウィキペディア日本語版 数学のフロケ理論（フロケりろん、）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。:\dot = A(t) x,\,ここで \displaystyle A(t) は区分的連続な周期 T の周期関数である。フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、 によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、\displaystyle Q(t+2T)=Q(t) を満たすような座標変換 \displaystyle y=Q^(t)x を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列 \phi\,(t) が基本解行列（fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 \Phi(t) が主基本解行列（principal funcamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解で、\Phi(t_0) が単位行列となるようなある t_0 が存在することを言う。主基本行列は、\Phi(t)=\phi\,(t)^(t_0) を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が x(0)=x_0 であるような線型微分方程式の解は、x(t)=\phi\,(t)^(0)x_0 である。ここで \phi \,(t) は任意の基本行列である。== フロケの定理 == Floquet theorem redirects to this section -->\dot= A(t) x を一階の線型微分方程式とし、x(t) は長さ n の列ベクトルとし、A(t) は周期 T の n \times n 周期行列とする（すなわち、すべての実数値 t に対して A(t + T) = A(t) が成立する）。\phi\, (t) をこの微分方程式のある基本解行列とする。このとき、全ての t \in \mathbb に対して: \phi(t+T)=\phi(t) \phi^(0) \phi (T) \ が成立する。ここで:\phi^(0) \phi (T)\ はモノドロミー行列として知られるものである。さらに（複素数値でもあり得る）各行列 B で:e^=\phi^(0) \phi (T),\ を満たすようなものに対し、周期 T の周期行列関数 t \mapsto P(t) で:\phi (t) = P(t)e^\textt \in \mathbb\ を満たすようなものが存在する。また、ある実行列 R と実周期（2T-周期）行列函数 t \mapsto Q(t) で:\phi (t) = Q(t)e^\textt \in \mathbb\ を満たすようなものが存在する。以上の議論において、B、P、Q および R は n \times n 行列である。== 結論と応用 ==写像 \phi \,(t) = Q(t)e^ は時間依存の座標変換（y = Q^(t) x）を導き、その変換の下で元の方程式系は実定数を係数とする線型系\dot = R y になる。Q(t) は連続かつ周期的であるため、有界である。したがって y(t) および x(t) に対するゼロ解の安定性は R の固有値によって決定される。表現 \phi \, (t) = P(t)e^ は、基本行列 \phi \, (t) に対する「フロケ正規形（Floquet normal form）」と呼ばれる。e^ の固有値は、その方程式系の特性乗数と呼ばれる。それらはまた（線型の）ポアンカレ写像 x(t) \to x(t+T) の固有値でもある。フロケ指数（Floquet exponent、しばしば特性指数とも呼ばれる）とは、e^ がその方程式系の特性乗数となるような複素数 \mu のことを言う。ここで、整数 k に対して e^=e^ が成立することより、フロケ指数は一意的ではないことに注意されたい。フロケ指数の実部は、リアプノフ指数（Lyapunov exponents）と呼ばれる。すべてのリアプノフ指数が負であればゼロ解は漸近安定となり、非負であればリアプノフ安定となり、それ以外の場合では不安定となる。* フロケ理論は力学系の研究において非常に重要となる。* フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子として月の運動を近似するヒルの方程式（ジョージ・ウィリアム・ヒルによって考えられた）において、安定性を示すものである。* 強レーザー場におけるおよびは、フロケの定理により得られる解によって表現される。 数学のフロケ理論（フロケりろん、）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。 :$\backslash dot\; =\; A(t)\; x,\backslash ,$ ここで $\backslash displaystyle\; A(t)$ は区分的連続な周期 $T$ の周期関数である。 フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、 によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、$\backslash displaystyle\; Q(t+2T)=Q(t)$ を満たすような座標変換 $\backslash displaystyle\; y=Q^(t)x$ を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。 固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。 線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列 $\backslash phi\backslash ,(t)$ が基本解行列（fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 $\backslash Phi(t)$ が主基本解行列（principal funcamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解で、$\backslash Phi(t\_0)$ が単位行列となるようなある $t\_0$ が存在することを言う。主基本行列は、$\backslash Phi(t)=\backslash phi\backslash ,(t)^(t\_0)$ を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が $x(0)=x\_0$ であるような線型微分方程式の解は、$x(t)=\backslash phi\backslash ,(t)^(0)x\_0$ である。ここで $\backslash phi\; \backslash ,(t)$ は任意の基本行列である。 == フロケの定理 == $\backslash dot=\; A(t)\; x$ を一階の線型微分方程式とし、$x(t)$ は長さ $n$ の列ベクトルとし、$A(t)$ は周期 $T$ の $n\; \backslash times\; n$ 周期行列とする（すなわち、すべての実数値 $t$ に対して $A(t\; +\; T)\; =\; A(t)$ が成立する）。$\backslash phi\backslash ,\; (t)$ をこの微分方程式のある基本解行列とする。このとき、全ての $t\; \backslash in\; \backslash mathbb$ に対して :$\backslash phi(t+T)=\backslash phi(t)\; \backslash phi^(0)\; \backslash phi\; (T)\; \backslash$ が成立する。ここで :$\backslash phi^(0)\; \backslash phi\; (T)\backslash$ はモノドロミー行列として知られるものである。さらに（複素数値でもあり得る）各行列 $B$ で :$e^=\backslash phi^(0)\; \backslash phi\; (T),\backslash$ を満たすようなものに対し、周期 $T$ の周期行列関数 $t\; \backslash mapsto\; P(t)$ で :$\backslash phi\; (t)\; =\; P(t)e^\backslash textt\; \backslash in\; \backslash mathbb\backslash$ を満たすようなものが存在する。また、ある実行列 $R$ と実周期（$2T$-周期）行列函数 $t\; \backslash mapsto\; Q(t)$ で :$\backslash phi\; (t)\; =\; Q(t)e^\backslash textt\; \backslash in\; \backslash mathbb\backslash$ を満たすようなものが存在する。以上の議論において、$B$、$P$、$Q$ および $R$ は $n\; \backslash times\; n$ 行列である。 == 結論と応用 == 写像 $\backslash phi\; \backslash ,(t)\; =\; Q(t)e^$ は時間依存の座標変換（$y\; =\; Q^(t)\; x$）を導き、その変換の下で元の方程式系は実定数を係数とする線型系$\backslash dot\; =\; R\; y$ になる。$Q(t)$ は連続かつ周期的であるため、有界である。したがって $y(t)$ および $x(t)$ に対するゼロ解の安定性は $R$ の固有値によって決定される。 表現 $\backslash phi\; \backslash ,\; (t)\; =\; P(t)e^$ は、基本行列 $\backslash phi\; \backslash ,\; (t)$ に対する「フロケ正規形（Floquet normal form）」と呼ばれる。 $e^$ の固有値は、その方程式系の特性乗数と呼ばれる。それらはまた（線型の）ポアンカレ写像 $x(t)\; \backslash to\; x(t+T)$ の固有値でもある。フロケ指数（Floquet exponent、しばしば特性指数とも呼ばれる）とは、$e^$ がその方程式系の特性乗数となるような複素数 $\backslash mu$ のことを言う。ここで、整数 $k$ に対して $e^=e^$ が成立することより、フロケ指数は一意的ではないことに注意されたい。フロケ指数の実部は、リアプノフ指数（Lyapunov exponents）と呼ばれる。すべてのリアプノフ指数が負であればゼロ解は漸近安定となり、非負であればリアプノフ安定となり、それ以外の場合では不安定となる。 * フロケ理論は力学系の研究において非常に重要となる。 * フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子として月の運動を近似するヒルの方程式（ジョージ・ウィリアム・ヒルによって考えられた）において、安定性を示すものである。 * 強レーザー場におけるおよびは、フロケの定理により得られる解によって表現される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「数学のフロケ理論（フロケりろん、）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。:\dot = A(t) x,\,ここで \displaystyle A(t) は区分的連続な周期 T の周期関数である。フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、 によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、\displaystyle Q(t+2T)=Q(t) を満たすような座標変換 \displaystyle y=Q^(t)x を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列 \phi\,(t) が基本解行列（fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 \Phi(t) が主基本解行列（principal funcamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解で、\Phi(t_0) が単位行列となるようなある t_0 が存在することを言う。主基本行列は、\Phi(t)=\phi\,(t)^(t_0) を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が x(0)=x_0 であるような線型微分方程式の解は、x(t)=\phi\,(t)^(0)x_0 である。ここで \phi \,(t) は任意の基本行列である。== フロケの定理 == Floquet theorem redirects to this section -->\dot= A(t) x を一階の線型微分方程式とし、x(t) は長さ n の列ベクトルとし、A(t) は周期 T の n \times n 周期行列とする（すなわち、すべての実数値 t に対して A(t + T) = A(t) が成立する）。\phi\, (t) をこの微分方程式のある基本解行列とする。このとき、全ての t \in \mathbb に対して: \phi(t+T)=\phi(t) \phi^(0) \phi (T) \ が成立する。ここで:\phi^(0) \phi (T)\ はモノドロミー行列として知られるものである。さらに（複素数値でもあり得る）各行列 B で:e^=\phi^(0) \phi (T),\ を満たすようなものに対し、周期 T の周期行列関数 t \mapsto P(t) で:\phi (t) = P(t)e^\textt \in \mathbb\ を満たすようなものが存在する。また、ある実行列 R と実周期（2T-周期）行列函数 t \mapsto Q(t) で:\phi (t) = Q(t)e^\textt \in \mathbb\ を満たすようなものが存在する。以上の議論において、B、P、Q および R は n \times n 行列である。== 結論と応用 ==写像 \phi \,(t) = Q(t)e^ は時間依存の座標変換（y = Q^(t) x）を導き、その変換の下で元の方程式系は実定数を係数とする線型系\dot = R y になる。Q(t) は連続かつ周期的であるため、有界である。したがって y(t) および x(t) に対するゼロ解の安定性は R の固有値によって決定される。表現 \phi \, (t) = P(t)e^ は、基本行列 \phi \, (t) に対する「フロケ正規形（Floquet normal form）」と呼ばれる。e^ の固有値は、その方程式系の特性乗数と呼ばれる。それらはまた（線型の）ポアンカレ写像 x(t) \to x(t+T) の固有値でもある。フロケ指数（Floquet exponent、しばしば特性指数とも呼ばれる）とは、e^ がその方程式系の特性乗数となるような複素数 \mu のことを言う。ここで、整数 k に対して e^=e^ が成立することより、フロケ指数は一意的ではないことに注意されたい。フロケ指数の実部は、リアプノフ指数（Lyapunov exponents）と呼ばれる。すべてのリアプノフ指数が負であればゼロ解は漸近安定となり、非負であればリアプノフ安定となり、それ以外の場合では不安定となる。* フロケ理論は力学系の研究において非常に重要となる。* フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子として月の運動を近似するヒルの方程式（ジョージ・ウィリアム・ヒルによって考えられた）において、安定性を示すものである。* 強レーザー場におけるおよびは、フロケの定理により得られる解によって表現される。」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. 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