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ブール代数[ぶーるだいすう]

ブール代数(ブールだいすう、boolean algebra)またはブール束(ブールそく、boolean lattice)とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究はの理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路(論理回路#組み合わせ回路)はブール代数の式で表現できる。
== 定義 ==
ブール代数(ブール束)とは束論における可補分配束(complemented distributive lattice)のことである。
集合 ''L'' と ''L'' 上の二項演算 ∨(結び(join)と呼ぶ),∧(交わり(meet)と呼ぶ)の組 <L; ∨, ∧> が以下を満たすとき分配束(distributive lattice)と呼ぶ。
* 冪等則:''x'' ∧ ''x'' = ''x'' ∨ ''x'' = ''x'' 、
* 交換則:''x'' ∧ ''y'' = ''y'' ∧ ''x'' 、''x'' ∨ ''y'' = ''y'' ∨ ''x'' 、
* 結合則:(''x'' ∧ ''y'')∧ ''z'' = ''x'' ∧(''y'' ∧ ''z'') 、(''x'' ∨ ''y'')∨ ''z'' = ''x'' ∨(''y'' ∨ ''z'') 、
* 吸収則:(''x'' ∧ ''y'')∨ ''x'' =''x'' 、(''x'' ∨ ''y'')∧ ''x'' = ''x'' 、
* 分配則:(''x'' ∨ ''y'')∧ ''z'' = (''x'' ∧ ''z'')∨(''y'' ∧ ''z'') 、(''x'' ∧ ''y'')∨ ''z'' = (''x'' ∨ ''z'')∧(''y'' ∨ ''z'') 、
さらに''L'' の特別な元 0 ,1 と単項演算 ¬ について、以下が成り立つとき <L; ∨, ∧, ¬> を可補分配束(ブール束)と呼ぶ。
* 補元則: ''x'' ∨ ¬''x'' = 1, ''x'' ∧ ¬ ''x'' = 0。
典型的な例は、台集合として特別な2つの元 0 , 1 のみの2点集合 からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。
この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ブール代数」の詳細全文を読む



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