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プトレマイオスの定理 : ウィキペディア日本語版
トレミーの定理[とれみーのていり]
トレミーの定理(トレミーのていり)とは、に内接する四角形 ''ABCD'' において、の長さに関する等式
:AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC
が成り立つという幾何学定理。トレミーとは古代ギリシア天文学者クラウディオス・プトレマイオスのことであり、それゆえ本定理はプトレマイオスの定理とも呼ばれる。

==証明==
計算の便宜をはかり、''a'' = ''AD'', ''b'' = ''AB'', ''c'' = ''BC'', ''d'' = ''DC'' とおくことにする。また、∠''A'' = ∠''DAB'', ∠''B'' = ∠''ABC'', ∠''C'' = ∠''BCD'', ∠''D'' = ∠''CDA'' のこととする。
余弦定理および内接四角形の性質より、
:BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A
:BD^2 = c^2 + d^2 -2cd \cos C = c^2 + d^2 +2cd \cos A
が成り立つ。ここから cos ''A'' を消去して、
:(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd)
を得る。また ''AC'' について同様にして
:(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd)
となるから、2 式を掛けて
:(ab + cd)(bc + ad)AC^2\cdot BD^2 = (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd)
を得る。これを整理すれば、
:AC \cdot BD = ac + bd
となる。すなわち、
:AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC
が示された。


抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「トレミーの定理」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Ptolemy's theorem 」があります。



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