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ベズー数 : ウィキペディア日本語版
ベズーの等式[べずーのとうしき]
ベズーの等式 (Bézout's identity) (ベズーの補題 (Bézout's lemma) とも呼ばれる)は初等整数論における定理である。''a'' と ''b'' を 0 でない整数とし、''d'' をそれらの最大公約数とする。このとき整数 ''x'' と ''y'' が存在して
: ax+by=d
となる。さらに、i) ''d'' は
と書ける最小の正の整数であり、ii)
の形のすべての整数は ''d'' の倍数である。''x'' と ''y'' は (''a'', ''b'') のベズー係数 (Bézout coefficients) と呼ばれる。それらは一意的ではない。ベズー係数の組は拡張ユークリッドの互除法によって計算できる。''a'' と ''b'' がどちらも 0 でなければ、拡張ユークリッドの互除法から |x|<\left |\tfrac\right | かつ |y|<\left |\tfrac\right | であるような 2 つの組の一方が出る。
ベズーの補題は任意の主イデアル整域において正しいが、正しくないような整域が存在する。
== 解の構造 ==

(例えばを使って)ベズー係数の一組 (''x'', ''y'') が計算されたとき、すべての組は
:\left(x+k\frac,\ y-k\frac\right)
の形で表せる、ただし は任意の整数であり分数は整数になる。
ベズー係数のこれらの組の中で、ちょうど2つが
: |x| < \left |\frac\right |\quad \text\quad |y| < \left |\frac\right |.
を満たす。これは除法の原理による。すなわち、2つの整数 ''c'' と ''d'' が与えられると、''d'' が ''c'' を割らなければ、ちょうど1つの組 が存在して、 かつ となり、別の1つの組が存在して、 かつ となる。
拡張ユークリッドアルゴリズムはつねにこれらの2つの最小の組の1つをもたらす。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ベズーの等式」の詳細全文を読む



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