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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ホッジ分解 ： ウィキペディア日本語版 ド・ラームコホモロジー 数学において、ド・ラームコホモロジー（, に因む）とは、代数トポロジーと微分トポロジーの双方に属するツールである。コホモロジー類の計算や具体的表現に適用すると、微分可能多様体上の基本的トポロジカルな情報を表わすことができる。ド・ラームコホモロジーは、（多様体の）詳しい性質を反映する微分形式の存在を基としたコホモロジー論である。 ==定義== ド・ラーム複体 とは、ある微分可能多様体 ''M'' 上の外微分形式のコチェイン複体であって、微分として外微分を持っているもののことをいう。 :$0\; \backslash to\; \backslash Omega^0(M)\backslash \; \backslash stackrel\backslash \; \backslash Omega^1(M)\backslash \; \backslash stackrel\backslash \; \backslash Omega^2(M)\backslash \; \backslash stackrel\backslash \; \backslash Omega^3(M)\; \backslash to\; \backslash cdots$ ここに Ω0(''M'') は ''M'' 上の滑らかな函数の空間であり、Ω1(''M'') は 1-形式の空間であり、以下も同様である。外微分による他の形式の像である形式と、$\backslash Omega^0(M)$ の定数関数 0 は、完全 といい、外微分がゼロとなる形式は閉であるという（閉形式と完全形式を参照）。従って、$d^=\; 0$ という関係式は、完全形式は閉形式であることを意味する。 しかし、逆は一般的には正しくなく、閉形式は必ずしも完全形式ではない。単純であるが重要な例としては、単位円の角度を測る1-形式があり、伝統的に dθ と書く（閉形式と完全形式において記述されている）。微分すると ''d''θ となる円全体で定義されるような実際の函数 θ は存在しない。円を正の方向へ一回回るたびに 2π だけ増えることは、一価関数 θ を取ることができないことを意味する。しかし、ただ一つの点のみを取り除くことによってトポロジー的に変えることができる。 ド・ラームコホモロジーの考え方は、多様体上の閉微分形式を分類することである。この分類は、$\backslash Omega^k(M)$ の中の2つの閉形式 α と β の差が完全形式である、すなわち、$\backslash alpha-\backslash beta$ が完全形式であるときに、α と β はコホモロガスであるということによって行う。この分類は $\backslash Omega^k(M)$ の閉形式の空間の同値関係を引き起こす。従って、 次 ド・ラームコホモロジー群 $H^\_(M)$ をこの同値類の集合として、つまり、完全形式での差を同一視した $\backslash Omega^k(M)$ の中の閉形式の同値類の集合として定義する： :$H^k\_\backslash mathrm(M)=Z^k\_\backslash mathrm(M)/B^k\_\backslash mathrm(M).$ ここで、$Z^k\_\backslash mathrm(M),\backslash ,B^k\_\backslash mathrm(M)$ はそれぞれ ''k'' 次閉形式（コサイクル）全体、''k'' 次完全形式（コバウンダリ）全体である。コホモロジーが消えることは、閉形式と完全形式が一致することを意味する。 ''n'' 個の連結成分からなる任意の多様体 ''M'' に対し、 :$H^\_(M)\; \backslash cong\; \backslash mathbf^n.$ が成り立つ。これは、微分が 0 である ''M'' 上の滑らかな函数（つまり局所定数函数）は ''M'' の連結成分の各々の上で定数であるという事実から従う。 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.