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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ボーア・モレルップの定理 ： ウィキペディア日本語版 ボーア・モレルップの定理[ぼーあもれるっぷのていり] ボーア・モレルップの定理 (''Bohr-Mollerup Theorem'' ) は、ガンマ関数を特徴づける定理である。この定理によると、正の実軸上で対数凸であり、$G(x+1)=xG(x)$であり、$G(1)=1$である複素解析関数は唯一ガンマ関数のみである〔Wolfram Mathworld: Bohr-Mollerup Theorem 〕。 == 証明1 == 初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、$\backslash Gamma(x+1)=x\backslash Gamma(x)$と$\backslash Gamma(1)=1$もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数$G(x)$がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して$G(x)=\backslash Gamma(x)$であることを証明する。 と定義する。$G(x+1)=xG(x)$であるから であり、$n$を任意の自然数として$f(x+n)=f(x)$である。また、$G(1)=\backslash Gamma(1)=1$であるから$f(n)=0$である。背理法を用い、$f(x\_0)\backslash ne0$となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、$f(\backslash lfloor\backslash rfloor)=f(\backslash lceil\backslash rceil)=0$であるから、$f(x\_0)\backslash ne0$が存在するためにはが存在しなければならず、延いては$f\text{'}\text{'}(x\_3)=\backslash epsilon>0$が存在しなければならない。これは を意味する。しかし、$n\backslash to\backslash infty$とすると$\backslash frac\backslash Gamma(n+x)\backslash to0$であるからとならなければならず、$G(x)$が対数凸であるという要求に反する。故に背理の仮定は成立せず、常に$f(x)=0$であり、$G(x)=\backslash Gamma(x)$である。以上により、$x>0$で$G(x)=\backslash Gamma(x)$が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で$G(z)=\backslash Gamma(z)$となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ボーア・モレルップの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.